Función hiperbólica

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas. Estas son:

Curvas das funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh

Curvas das funcións hiperbólicas csch, sech e coth

O seno hiperbólico

$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

O coseno hiperbólico

$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

A tanxente hiperbólica

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

e outras derivadas:

$\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$

(cotanxente hiperbólica)

$\text{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}$

(secante hiperbólica)

$\text{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}$

(cosecante hiperbólica)

Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares

As funcións trigonométricas $sen(t)$ e $cos(t)$ poden ser as coordenadas cartesianas $(x,e)$ dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cos t\\ y(t)=\sin t\end{array}$

Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto $(1,0)$ e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.

Animación da representación do seno hiperbólico.

De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas $(x,e)$ dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

$x^2-y^2=1$

onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cosh t\\ y(t)=\sinh t\end{array}$

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:

$x(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$

$y(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

dado que

${\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^2=1$

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

$\cosh (t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$

$\sinh (t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

Relacións trigonométricas con argumentos complexos

As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos:

• Seno Hiperbólico: $$\sinh x=-i\sin (ix).$$
• Coseno Hiperbólico: $$\cosh x=\cos (ix).$$
• Tanxente Hiperbólica: $$\tanh x=-i\tan (ix).$$
• Cotanxente Hiperbólica: $$\coth x=i\cot (ix).$$
• Secante Hiperbólica: $$\mathrm{sech}x=\sec (ix).$$
• Cosecante Hiperbólica:$$\mathrm{csch}x=i\csc (ix).$$

onde Modelo:Mvar é a unidade imaxinaria con Modelo:Math.

As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler

Relacións

Ecuación fundamental

${\cosh }^2(x)-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)=1$

Duplicación do argumento

Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas

$\cosh (x+y)=\cosh (x)\cosh (y)+\sinh (x)\sinh (y)$

o que leva á seguinte relación:

$\cosh (2x)={\cosh }^2(x)+{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)$

e por outra banda

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x+y)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (y)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(y)\cosh (x)$

que leva a:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(2x)=2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (x)$

tense estoutra relación

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh (x)+\tanh (y)}{1+\tanh (x)\tanh (y)}$

que permite ter

$\tanh (2x)=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$

Derivación e integración

$\frac{d}{dx}(\cosh (x))=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x))=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}(\tanh (x))={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x))=-{\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\tanh (x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$

Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de $sinh(x)$ está dada por $cosh(x)$ e a derivada de $cosh(x)$ é $sinh(x)$. O gráfico da función $cosh(x)$ denomínase catenaria.

Inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas

Modelo:Ap As funcións inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:

$\begin{array}{cccc}\text{arg sinh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})& \frac{d}{dx}(\text{arg sinh}(x))& =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ \text{arg cosh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1& \frac{d}{dx}(\text{arg cosh(x)})& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}};x>1\\ \text{arg tanh}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1& \frac{d}{dx}(\text{arg tanh(x)})& =\frac{1}{1-x^2};\left|x\right|<1\\ \text{arg coth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1& \frac{d}{dx}(\text{arg coth(x)})& =\frac{1}{1-x^2};\left|x\right|>1\\ \text{arg sech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x});0<x\le 1& \frac{d}{dx}(\text{arg sech(x)})& =\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}};0<x<1\\ \text{arg csch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|});x\ne 0& \frac{d}{dx}(\text{arg csch(x)})& =\frac{-1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}};x\ne 0\end{array}$

Series de Taylor

As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

$\text{arg sinh}(x)=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots =$

$\text{arg sinh}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\text{arg cosh}(x)=\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )=$

$\text{arg cosh}(x)=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1$

$\text{arg tanh}(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots =$

$\text{arg tanh}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\text{arg csch}(x)=\text{arg sinh}(x^{-1})=x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots =$

$\text{arg csch}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

$\text{arg sech}(x)=\text{arg cosh}(x^{-1})=\ln 2-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )=$

$\text{arg sech}(x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{(2n)},0<x\le 1$

$\text{arg coth}(x)=\text{arg tanh}(x^{-1})=x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots =$

$\text{arg coth}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

Relación coa función exponencial

Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

$e^x=\cosh x+\sinh x$

e

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

Véxase tamén

Outros artigos

• Trigonometría
• Funcións trigonométricas
• Logaritmo neperiano
• Número e
• Hipérbole