Fórmulas de Viète

François Viète

En matemáticas, as fórmulas de Viète (frecuentemente escrito Vieta) relacionan os coeficientes dun polinomio coas sumas e produtos das súas raíces. Levan o nome de François Viète.

Fórmulas básicas

Calquera polinomio xeral de grao n :$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ (sendo os coeficientes números reais ou complexos e Modelo:Math) ten Modelo:Math raíces complexas (non necesariamente distintas) Modelo:Math polo teorema fundamental da álxebra. As fórmulas de Viète relacionan os coeficientes polinómicos con sumas con signo de produtos das raíces Modelo:Math do seguinte xeito:

Modelo:Bloque numerado

As fórmulas de Viète pódense escribir equivalentemente como

$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}\left(\prod _{j=1}^k{r}_{i_j}\right)=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$ para Modelo:Math

(os índices Modelo:Math ordénanse en orde crecente para garantir que cada produto de Modelo:Math raíces se use exactamente unha vez).

Os lados esquerdos das fórmulas de Viète son os polinomios simétricos elementais das raíces.

O sistema de Viète Modelo:EquationNote pódese resolver polo método de Newton mediante unha fórmula explícita iterativa sinxela, o método Durand-Kerner.

Xeneralización a aneis

As fórmulas de Viète úsanse con frecuencia con polinomios con coeficientes en calquera dominio integridade Modelo:Mvar. Daquela, os cocientes $a_i/a_n$ pertencen ao corpo de fraccións de Modelo:Mvar (e posibelmente estean no propio Modelo:Mvar se $a_n$ é invertíbel en Modelo:Mvar) e as raíces $r_i$ tómanse nunha extensión alxebricamente pechada. Normalmente, Modelo:Mvar é o anel dos enteiros, o corpo das fraccións é o corpo dos números racionais e o corpo alxebricamente pechado é o dos números complexos.

As fórmulas de Viète son entón útiles porque proporcionan relacións entre as raíces sen ter que calculalas.

Para polinomios sobre un anel conmutativo que non é un dominio de integridade, as fórmulas de Viète só son válidas cando $a_n$ non é un divisor de cero e $P(x)$ factores como $a_n(x-r_1)(x-r_2)\dots (x-r_n)$.

Por exemplo, no anel dos enteiros módulo 8, o polinomio cadrático $P(x)=x^2-1$ ten catro raíces: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète non son certas se, por exemplo, $r_1=1$ e $r_2=3$, porque $P(x)\ne (x-1)(x-3)$. No entanto, $P(x)$ factoriza tamén como $(x-1)(x-7)$ e tamén como $(x-3)(x-5)$, e as fórmulas de Vieta cúmprense se estabelecemos calquera das dúas $r_1=1$ e $r_2=7$ ou $r_1=3$ e $r_2=5$.

Exemplo

As fórmulas de Viète aplicadas a polinomios cadráticos e cúbicos:

As raíces $r_1,r_2$ do polinomio cadrático $P(x)=a{x}^2+bx+c$ satisfán

$r_1+r_2=-\frac{b}{a},r_1{r}_2=\frac{c}{a}.$

A primeira destas ecuacións pódese usar para atopar o mínimo (ou máximo) de Modelo:Math.

As raíces $r_1,r_2,r_3$ do polinomio cúbico $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ satisfán

$r_1+r_2+r_3=-\frac{b}{a},r_1{r}_2+r_1{r}_3+r_2{r}_3=\frac{c}{a},r_1{r}_2{r}_3=-\frac{d}{a}.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita revista

Outros artigos

• Identidades de Newton
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema das raíces racionais
• Polinomio simétrico e Polinomio simétrico elemental

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades