Números de Euler

Modelo:Non confundir En matemáticas, os números de Euler son unha secuencia E_n de enteiros Modelo:OEIS definida pola expansión da serie de Taylor

$\frac{1}{\cosh t}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$ ,

onde $\cosh (t)$ é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler, $E_n(x)$ avaliados no valor $\frac{1}{2}$, a saber:

$E_n=2^n{E}_n(\frac{1}{2}).$

Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par Modelo:OEIS teñen signos alternados. Algúns valores son:

Fórmulas explícitas

En termos de números de Stirling do segundo tipo

As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo:

$E_n=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^n\frac{(-1{)}^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}(3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{\overline{\ell \phantom{.}}}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{\overline{\ell \phantom{.}}}),$

$E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1{)}^{\ell }\cdot \frac{S(2n,\ell )}{\ell +1}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{\overline{\ell \phantom{.}}},$

onde $S(n,\ell )$ denota os números de Stirling do segundo tipo, e $x^{\overline{\ell \phantom{.}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)$ denota o factorial ascendente.

Como dobre suma

As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres

$E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1{)}^{\ell }\frac{1}{2^{\ell }(\ell +1)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{\ell })\sum _{q=0}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{q})(2q-\ell {)}^{2n},$

$E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^k\frac{1}{2^k}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1{)}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{\ell })(k-\ell {)}^{2n}.$

Como suma iterada

Unha fórmula explícita para os números de Euler é:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\ell })\frac{(-1{)}^{\ell }(k-2\ell {)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k},$

onde Modelo:Mvar denota a unidade imaxinaria con Modelo:Math.

Como suma sobre particións

O número de Euler Modelo:Math pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de Modelo:Math,

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{(-\frac{1}{2!})}^{k_1}{(-\frac{1}{4!})}^{k_2}\cdots {(-\frac{1}{(2n)!})}^{k_n},$

así como unha suma sobre as particións impares de Modelo:Math,

$E_{2n}=(-1{)}^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{(-\frac{1}{1!})}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

onde en ambos os casos Modelo:Math e

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n})\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os Modelo:Mvars a Modelo:Math e a Modelo:Math, respectivamente.

Como exemplo,

$\begin{array}{cc}{E}_{10}& =10!(-\frac{1}{10!}+\frac{2}{2!8!}+\frac{2}{4!6!}-\frac{3}{2{!}^{2}6!}-\frac{3}{2!4{!}^2}+\frac{4}{2{!}^{3}4!}-\frac{1}{2{!}^5})\\ & =9!(-\frac{1}{9!}+\frac{3}{1{!}^{2}7!}+\frac{6}{1!3!5!}+\frac{1}{3{!}^3}-\frac{5}{1{!}^{4}5!}-\frac{10}{1{!}^{3}3{!}^2}+\frac{7}{1{!}^{6}3!}-\frac{1}{1{!}^9})\\ & =-50521.\end{array}$

Como determinante

Modelo:Math is given by the determinant

$\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

Como integral

Modelo:Math is also given by the following integrals:

$\begin{array}{cc}(-1{)}^n{E}_{2n}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{2n}}{\cosh \frac{\pi t}{2}}dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}}{\cosh x}dx\\ & ={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\log }^{2n}(\tan \frac{\pi t}{4})dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\log }^{2n}(\tan \frac{x}{2})dx\\ & =\frac{2^{2n+3}}{{\pi }^{2n+2}}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}x{\log }^{2n}(\tan x)dx={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x}{2}{\log }^{2n}(\tan \frac{x}{2})dx.\end{array}$

Límite inferior

Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior

$|E_{2n}|>8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Números en zigzag de Euler

A serie de Taylor $\sec x+\tan x=\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})$ é

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n}{n!}{x}^n,$

onde Modelo:Mvar son os números en zigzag de Euler, comezando por

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,... Modelo:OEIS

Para todos os Modelo:Mvar pares temos

$A_n=(-1{)}^{\frac{n}{2}}{E}_n,$

onde Modelo:Mvar é o número de Euler.

Para todo Modelo:Mvar impar temos,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1},$

onde Modelo:Mvar son os números de Bernoulli.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número de Bernoulli.
• Constante de Euler-Mascheroni

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld