Fórmula de Stirling

A diferenza relativa entre (ln x!) e (x ln x - x) tende a cero ao crecer x.

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A aproximación exprésase como

$\ln n!\approx n\ln n-n$

para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.

Escrito coa notación O grande sería

$\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n),$.

E a forma máis utilizada é

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Dedución

En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma

$\ln (n!)=\sum _{j=1}^n\ln j$

cunha integral:

$\sum _{j=1}^n\ln j\approx \underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln x\mathrm{d}x=n\ln n-n+1.$

A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar $n!$, considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente:

$\ln (n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

O lado dereito desta ecuación menos $\frac{1}{2}(\ln 1+\ln n)=\frac{1}{2}\ln n$ é a aproximación pola regra do trapecio da integral

$\ln (n!)-\frac{1}{2}\ln n\approx \underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln x\mathrm{d}x=n\ln n-n+1,$

e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin:

$\begin{array}{cc}\ln (n!)-\frac{1}{2}\ln n& =\frac{1}{2}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln (n-1)+\frac{1}{2}\ln n\\ & =n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)}(\frac{1}{n^{k-1}}-1)+R_{m,n},\end{array}$

onde $B_k$ é un número de Bernoulli, e Modelo:Math é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin.

Tomando límites para atopalo

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln (n!)-n\ln n+n-\frac{1}{2}\ln n)=1-\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_{m,n}.$

Denotamos este límite como $y$. Como o resto Modelo:Math na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai

$R_{m,n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_{m,n}+O\left(\frac{1}{n^m}\right),$

onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica:

$\ln (n!)=n\ln \left(\frac{n}{e}\right)+\frac{1}{2}\ln n+y+\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)n^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^m}\right).$

Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo $m$, obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida $e^y$. Para Modelo:Math, a fórmula é

$n!=e^y\sqrt{n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

A cantidade $e^y$ pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que $n$ tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que $e^y=\sqrt{2\pi }$. Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

Dedución alternativa

Unha fórmula alternativa para $n!$ usando a función gamma é

$n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x.$

(como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis Modelo:Math, obtense

$n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n\ln x-x}\mathrm{d}x=e^{n\ln n}n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)},\mathrm{d}a.$

Aplicando o método de Laplace tense

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}\mathrm{d}y\sim \sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n},$

co que volvemos a obter a fórmula de Stirling:

$n!\sim e^{n\ln n}n\sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Serie de Stirling e límite do erro

Como vimos na introdución a fórmula máis usada é

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

que provén de

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$

que á súa vez provén máis exactamente da fórmula

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\frac{1}{1260n^5}-\frac{1}{1680n^7}+\cdots }$

onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores Modelo:OEIS: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada serie de Striling

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\cdots ).$

Que ten límites superior e inferior

$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}$

G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie. Na OEIS aparecen outros termosModelo:OEIS e Modelo:OEIS.

Podemos ver un exemplo calculado destes límites:

$29!=8841761993739701954543616000000$

$e^{\frac{1}{1229+1}}=1,002869438...$

$e^{\frac{1}{1229}}=1,002877696...$

$29!=\sqrt{2\pi 29}{\left(\frac{29}{e}\right)}^{29}1,002877577...$

Fórmula de Stirling para a función Gamma

Para todos os números enteiros positivos,

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1),$

onde Modelo:Math denota a función Gamma.

Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se Modelo:Math, temos

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=z\ln z-z+\frac{1}{2}\ln \frac{2\pi }{z}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\arctan \left(\frac{t}{z}\right)}{e^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t.$

A integración por partes repetida dá

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)\sim z\ln z-z+\frac{1}{2}\ln \frac{2\pi }{z}+\sum _{n=1}^{N-1}\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}},$

onde $B_n$ é o $n$-ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando $N\to \mathrm{\infty }$ non é converxente , polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para $z$ o suficientemente grande en valor absoluto, cando Modelo:Math, onde Modelo:Mvar é positivo, cun termo de erro de Modelo:Math. Así pódese escribir a aproximación correspondente:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\sqrt{\frac{2\pi }{z}}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z(1+O\left(\frac{1}{z}\right)),$

onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para $n!$, excepto que $n$ substitúese por Modelo:Math.

Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos Modelo:Mvar con constante Modelo:Math. Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en Modelo:Math da función theta de Riemann–Siegel na liña recta Modelo:Math.

Usos

A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a $N\approx 10^{23}$ partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Aproximación de Lanczos
• Aproximación de Spouge
• Factorial

Ligazóns externas

• Modelo:SpringerEOM
• Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!
• Modelo:MathWorld
• Modelo:PlanetMath

Modelo:Control de autoridades