Automorfismo interno

En álxebra abstracta, un automorfismo interno é un automorfismo dun grupo, anel ou álxebra dado pola acción de conxugación dun elemento fixo, chamado elemento conxugado. Pódense realizar mediante operacións desde o propio grupo, de aí o adxectivo "interno". Estes automorfismos internos forman un subgrupo do grupo de automorfismos, e o cociente do grupo de automorfismos por este subgrupo defínese como o grupo de automorfismos externos.

Definición

Se Modelo:Mvar é un gruop e Modelo:Mvar é un elemento de Modelo:Mvar (alternativamente, se Modelo:Mvar é un anel, e Modelo:Mvar é unha unidade), entón a función

$\begin{array}{cc}{\phi }_g:G& \to G\\ {\phi }_g(x)& :=g^{-1}xg\end{array}$

chámase conxugación por Modelo:Mvar (pola derita) (ver tamén clase de conxugación). Esta función é un endomorfismo de Modelo:Mvar: para todos $x_1,x_2\in G,$

${\phi }_g(x_1{x}_2)=g^{-1}{x}_1{x}_{2}g=g^{-1}{x}_1\left(g{g}^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}{x}_{1}g\right)\left(g^{-1}{x}_{2}g\right)={\phi }_g(x_1){\phi }_g(x_2),$

onde a segunda igualdade vén dada pola inserción da identidade entre $x_1$ e $x_2.$ Alén diso, ten unha inversa pola esquerda e pola dereita, a saber ${\phi }_{g^{-1}}.$ Así, ${\phi }_g$ é tanto un monomorfismo como un epimorfismo, polo que é un isomorfismo de Modelo:Mvar consigo mesmo, é dicir, un automorfismo. Un automorfismo interno é calquera automorfismo que xorde da conxugación.

Relación xeral entre varios homomorfismos.

Cando se fala da conxugación pola dereita, a expresión $g^{-1}xg$ adoita denotarse exponencialmente por $x^g.$ Esta notación úsase porque a composición das conxugacións satisfai a identidade: ${\left(x^{g_1}\right)}^{g_2}=x^{g_1{g}_2}$ para tódolos $g_1,g_2\in G.$ Isto mostra que a conxugación pola dereita dá unha acción pola dereita de Modelo:Mvar sobre si mesmo.

Un exemplo común é o seguinte:

Relación de morfismos e elementos

Descríbese un homomorfismo $\mathrm{\Phi }$ para o que a imaxe, $\text{Im}(\mathrm{\Phi })$, é un subgrupo normal de automorfismos internos dun grupo $G$; alternativamente, descríbese un homomorfismo natural do que o núcleo de $\mathrm{\Phi }$ é o centro de $G$ (todos os $g\in G$ para os que conxugando por eles devolve o automorfismo trivial), noutras palabras, $\text{Ker}(\mathrm{\Phi })=\text{Z}(G)$. Sempre hai un homomorfismo natural $\mathrm{\Phi }:G\to \text{Aut}(G)$, que asocia a cada $g\in G$ un automorfismo (interno) ${\phi }_g$ en $\text{Aut}(G)$. Poñamos de xeito idéntico, $\mathrm{\Phi }:g\mapsto {\phi }_g$.

Sexa ${\phi }_g(x):=gx{g}^{-1}$ como se definiu anteriormente. Isto require demostrar que

(1) ${\phi }_g$ é un homomorfismo,

(2) ${\phi }_g$ tamén é unha bixección,

(3) $\mathrm{\Phi }$ é un homomorfismo.

1. ${\phi }_g(x{x}^{\prime })=gx{x}^{\prime }{g}^{-1}=gx(g^{-1}g)x^{\prime }{g}^{-1}=(gx{g}^{-1})(g{x}^{\prime }{g}^{-1})={\phi }_g(x){\phi }_g(x^{\prime })$
2. A condición de bixectividade pódese verificar simplemente presentando unha inversa coa que podemos volver a $x$ dende $gx{g}^{-1}$. Neste caso é a conxugación por $g^{-1}$ denotado como ${\phi }_{g^{-1}}$.
3. $\mathrm{\Phi }(g{g}^{\prime })(x)=(g{g}^{\prime })x(g{g}^{\prime }{)}^{-1}$ e $\mathrm{\Phi }(g)\circ \mathrm{\Phi }(g^{\prime })(x)=\mathrm{\Phi }(g)\circ (g^{\prime }hg{\text{'}}^{-1})=g{g}^{\prime }hg{\text{'}}^{-1}{g}^{-1}=(g{g}^{\prime })h(g{g}^{\prime }{)}^{-1}$

Grupos de automorfismos internos e externos

A composición de dous automorfismos internos é de novo un automorfismo interno, e con esta operación, a colección de todos os automorfismos internos de Modelo:Mvar é un grupo, o grupo de automorfismos interno de Modelo:Mvar denotado Modelo:Math.

Modelo:Math é un subgrupo normal do grupo de automorfismos completo Modelo:Math de Modelo:Mvar. O grupo de automorfismos externo, é o grupo cociente

$\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G).$

O grupo de automorfismos externos mide, en certo sentido, cantos automorfismos de Modelo:Mvar non son internos. Todo automorfismo non interno produce un elemento non trivial de Modelo:Math, pero diferentes automorfismos non internos poden producir o mesmo elemento de Modelo:Math .

Dicir que a conxugación de Modelo:Mvar por Modelo:Mvar deixa Modelo:Mvar sen cambios equivale a dicir que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar conmutan:

$a^{-1}xa=x⟺xa=ax.$

Polo tanto, a existencia e o número de automorfismos internos que non son o mapa de identidade é unha especie de medida do fallo da lei conmutativa no grupo (ou anel).

Ao asociar o elemento Modelo:Math co automorfismo interno Modelo:Math en Modelo:Math como anteriormente, obtense un isomorfismo entre o grupo cociente Modelo:Math (onde Modelo:Math é o centro de Modelo:Mvar) e o grupo de automorfismos internos:

$G/\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Inn}(G).$

Esta é unha consecuencia do primeiro teorema de isomorfismo, porque Modelo:Math é precisamente o conxunto daqueles elementos de Modelo:Mvar que dan a correspondencia de identidade como automorfismo interno correspondente (a conxugación non muda nada).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Centro (teoría de grupos)
• Matriz nilpotente
• Grupo (matemáticas)
• Grupo cociente

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades