Matriz nilpotente

En álxebra linear, unha matriz nilpotente é unha matriz cadrada N tal que

$N^k=0$

para algún enteiro $k$. O $k$ máis pequeno deste tipo chámase índice de $N$, ou ás veces o grao de $N$.

De xeito máis xeral, unha transformación nilpotente é unha transformación linear $L$ dun espazo vectorial tal que $L^k=0$ para algún enteiro positivo $k$ (e, polo tanto, $L^j=0$ para todos os $j\ge k$).

Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

é nilpotente de índice 2, xa que $A^2=0$.

Exemplo 2

De forma máis xeral, calquera matriz triangular de $n$ dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice $\le n$. Por exemplo, a matriz

$B=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

é nilpotente, con

$B^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];B^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];B^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

O índice de $B$ é polo tanto 4.

Exemplo 3

Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,

$C=\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]C^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

aínda que a matriz non ten entradas cero.

Exemplo 4

Alén diso, calquera matriz da forma

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_1& \cdots & a_1\\ a_2& a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}& -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}& \dots & -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}\end{array}\right]$

como

$\left[\begin{array}{ccc}5& 5& 5\\ 6& 6& 6\\ -11& -11& -11\end{array}\right]$

ou

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\\ -7& -7& -7& -7\end{array}\right]$

elévase ao cadrado dando cero.

Exemplo 5

Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas $n\times n$ da forma:

$\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& \cdots & 1-n\\ n+2& 1& 1& \cdots & -n\\ 1& n+2& 1& \cdots & -n\\ 1& 1& n+2& \cdots & -n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\end{array}\right]$

As primeiras delas son:

$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 5& 1& -3\\ 1& 5& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 2& 2& -3\\ 6& 1& 1& -4\\ 1& 6& 1& -4\\ 1& 1& 6& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 2& -4\\ 7& 1& 1& 1& -5\\ 1& 7& 1& 1& -5\\ 1& 1& 7& 1& -5\\ 1& 1& 1& 7& -5\end{array}\right]\dots$

Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.

Exemplo 6

Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.

Caracterización

Para unha matriz cadrada $n\times n$, $N$, con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes:

• $N$ é nilpotente.
• O polinomio característico para $N$ é $\det (xI-N)=x^n$.
• O polinomio mínimo para $N$ é $x^k$ para algún número enteiro positivo $k\le n$.
• O único eigenvalor complexo para $N$ é 0.

O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo:

• O índice dunha matriz nilpotente $n\times n$ sempre é menor ou igual a $n$. Por exemplo, cada matriz $2\times 2$ nilpotente elevada ao cadrado é cero.
• O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel.
• A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.

Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.

Clasificación

Considere a matriz de desprazamento $n\times n$ (superior):

$S=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:

$S(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(x_2,\dots ,x_n,0).$

Esta matriz é nilpotente con grao $n$, e é a matriz nilpotente canónica.

Específicamente, se $N$ é calquera matriz nilpotente, entón $N$ é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma

$\left[\begin{array}{cccc}{S}_1& 0& \dots & 0\\ 0& S_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & S_r\end{array}\right]$

onde cada un dos bloques $S_1,S_2,\dots ,S_r$ é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.

Por exemplo, calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de é semellante á matriz

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

É dicir, se $N$ é calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de cero, entón existe unha base b₁,b₂ de tal forma que Nb₁=0 e Nb₂=b₁.

Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)

Bandeira de subespazos

Unha transformación nilpotente $L$ en ${ℝ}^n$ determina naturalmente unha bandeira de subespazos

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^2\subset \dots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^q={ℝ}^n$

e unha sinatura

$0=n_0<n_1<n_2<\dots <n_{q-1}<n_q=n,n_i=\dim \ker L^i.$

A sinatura caracteriza $L$ ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades

$n_{j+1}-n_j\le n_j-n_{j-1},\text{para todos os }j=1,\dots ,q-1.$

Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.

Propiedades adicionais

• Se $N$ é nilpotente con índice $k$, entón $I+N$ e $I-N$ son invertíbeis, onde $I$ é a matriz identidade $n\times n$. As inversas veñen dadas por

$\begin{array}{cc}(I+N{)}^{-1}& =\sum _{m=0}^k{(-N)}^m=I-N+N^2-N^3+N^4-N^5+N^6-N^7+\cdots +(-N{)}^k\\ (I-N{)}^{-1}& =\sum _{m=0}^k{N}^m=I+N+N^2+N^3+N^4+N^5+N^6+N^7+\cdots +N^k\\ \end{array}$

• Se $N$ é nilpotente, entón

$\det (I+N)=1.$

Pola contra, se $A$ é unha matriz e

$\det (I+tA)=1$

para todos os valores de $t$, entón $A$ é nilpotente. De feito, dado que $p(t)=\det (I+tA)-1$ é un polinomio de grao $n$, abonda con ter este valor para $n+1$ valores distintos de $t$.

• Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.
• Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.

Xeneralizacións

Un operador linear $T$ é localmente nilpotente se para cada vector $v$, existe un $k\in \mathbb{N}$ tal que

$T^k(v)=0.$

Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Nilpotente.
• Descomposición de Jordan-Chevalley.

Ligazóns externas

• Nilpotent matrix e [http://planetmath.org/nilpotenttransformation transformación nilpotente en PlanetMath.