Endomorfismo

A proxección ortogonal sobre unha liña, Modelo:Math, é un operador linear no plano. Este é un exemplo de endomorfismo que non é un automorfismo.

En matemáticas, un endomorfismo é un morfismo dun obxecto matemático en si mesmo. Cando un endomorfismo é tamén un isomorfismo entón é un automorfismo. Por exemplo, un endomorfismo dun espazo vectorial Modelo:Math é un mapa linear Modelo:Math. Un endomorfismo dun grupo Modelo:Math é un homomorfismo de grupos Modelo:Math. En xeral, podemos falar de endomorfismos en calquera categoría . Na categoría de conxuntos, os endomorfismos son funcións desde un conxunto S ata si mesmo.

En calquera categoría, a composición de dous endomorfismos de Modelo:Math é de novo un endomorfismo de Modelo:Math. De aquí segue que o conxunto de todos os endomorfismos de Modelo:Math forma un monoide, o monoide de transformación completa, denotado Modelo:Math (ou Modelo:Math para destacar a categoría Modelo:Math).

Automorfismos

Un endomorfismo invertible de Modelo:Math chámase automorfismo. O conxunto de todos os automorfismos é un subconxunto de Modelo:Math cunha estrutura de grupo, chamado grupo de automorfismos de Modelo:Math e denotado Modelo:Math.

Aneis de endomorfismos

Dous endomorfismos calquera dun grupo abeliano, Modelo:Math, pódense sumar pola regra Modelo:Math. Baixo esta suma, e coa multiplicación definida como composición de funcións, os endomorfismos dun grupo abeliano forman un anel (o anel de endomorfismos). Por exemplo, o conxunto de endomorfismos de ${\mathbb{Z}}^n$ é o anel de todas as matrices Modelo:Math con entradas nos números enteiros. Os endomorfismos dun espazo vectorial ou módulo tamén forman un anel, do mesmo xeito que os endomorfismos de calquera obxecto nunha categoría preaditiva. Os endomorfismos dun grupo non abeliano xeran unha estrutura alxébrica coñecida como un anel próximo.

Teoría de operadores

En calquera categoría concreta, especialmente para espazos vectoriais, os endomorfismos son mapas dun conxunto en si mesmo, e poden interpretarse como operadores unarios sobre ese conxunto, que actúan sobre os elementos e permiten definir a noción de órbitas de elementos, etc.

Dependendo da estrutura adicional definida para a categoría en cuestión (topoloxía, métrica, ...), ditos operadores poden ter propiedades como continuidade, límites, etc.

Endofuncións

Unha endofunción é unha función cuxo dominio é igual ao seu codominio.

Sexa Modelo:Math un conxunto arbitrario. Entre as endofuncións en Modelo:Math atópanse as permutacións de Modelo:Math e as funcións constantes que asocian a cada Modelo:Math en Modelo:Math o mesmo elemento Modelo:Math en Modelo:Math. Toda permutación de Modelo:Math ten o codominio igual ao seu dominio e é bixectiva e invertible. Se Modelo:Math ten máis dun elemento, unha función constante en Modelo:Math ten unha imaxe que é un subconxunto propio do seu codominio e, polo tanto, non é bixectiva (e, polo tanto, non é invertible). A función que asocia a cada número natural Modelo:Math a función chan de Modelo:Math ten a súa imaxe igual ao seu codominio e non é invertible.

Exemplos particulares de endofuncións bixectivas son as involucións; é dicir, as funcións coincidentes coas súas inversas.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Endomorfismo adxunto
• Epimorfismo (homomorfismo sobrexectivo)
• Endomorfismo de Frobenius
• Monomorfismo (homomorfismo inxectivo)

Ligazóns externas

• Modelo:Springer