Acción de grupo

O grupo cíclico Modelo:Math que consiste nas rotacións de 0°, 120° e 240° actúa sobre o conxunto dos tres vértices.

En matemáticas, unha acción de grupo dun grupo Modelo:Mvar nun conxunto Modelo:Mvar é un homomorfismo de grupos de Modelo:Mvar a algún grupo (baixo a composición de funcións) de Modelo:Mvar. Dise que Modelo:Mvar actúa en Modelo:Mvar.

Se un grupo actúa sobre unha estrutura, normalmente tamén actuará sobre obxectos construídos a partir desa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrías euclidianas actúa sobre o espazo euclidiano e tamén sobre as figuras debuxadas nel; en particular, actúa sobre o conxunto de todos os triángulos. Do mesmo xeito, o grupo de simetrías dun poliedro actúa sobre os vértices, as arestas e as caras do poliedro.

Unha acción de grupo nun espazo vectorial chámase representación de grupo. No caso dun espazo vectorial de dimensións finitas, permite identificar moitos grupos con subgrupos do grupo linear xeral Modelo:Math que é o grupo das matrices invertíbeis de dimensión Modelo:Math sobre un corpo.

O grupo simétrico Modelo:Math actúa sobre calquera conxunto con Modelo:Math elementos permutando os elementos do conxunto. Aínda que o grupo de todas as permutacións dun conxunto depende formalmente do conxunto, o concepto de acción de grupo permite considerar un só grupo para estudar as permutacións de todos os conxuntos coa mesma cardinalidade.

Definición

Acción de grupo

Se Modelo:Mvar é un grupo con elemento identidade Modelo:Mvar e Modelo:Mvar é un conxunto, entón unha acción de grupo (pola esquerda ou esquerda) Modelo:Mvar de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar é unha función

$\alpha :G\times X\to X,$

que satisfai os dous axiomas seguintes:

Identidade:	$\alpha (e,x)=x$
Compatibilidade:	$\alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)$

para todos os Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar e todos os Modelo:Mvar en Modelo:Mvar.

Dise entón que o grupo Modelo:Mvar actúa sobre Modelo:Mvar (pola esquerda). Un conxunto Modelo:Mvar xunto cunha acción de Modelo:Mvar chámase Modelo:Mvar-conxunto (pola esquerda ou esquerdo) .

Pode resultar conveniente notacionalmente transformar (currying) a acción Modelo:Math, de xeito que, en cambio, teña unha colección de transformacións Modelo:Math, cunha transformación Modelo:Math para cada elemento de grupo Modelo:Math. Así, os axiomas de identidade e compatibilidade móstranse como

${\alpha }_e(x)=x$

${\alpha }_g({\alpha }_h(x))=({\alpha }_g\circ {\alpha }_h)(x)={\alpha }_{gh}(x)$

sendo Modelo:Math a composición de funcións. O segundo axioma indica logo que a composición da funcións é compatíbel coa multiplicación do grupo; forman un diagrama conmutativo. Este axioma pódese acurtar aínda máis e escribirse como Modelo:Math.

Co visto anteriormente, é moi común evitar escribir a letra Modelo:Math e substituíla por un punto ou mesmo sen nada. Así, Modelo:Math pódese acurtar a Modelo:Math ou Modelo:Math, especialmente cando a acción é clara polo contexto. Os axiomas son logo

$e\cdot x=x$

$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

Destes dous axiomas, despréndese que para calquera Modelo:Mvar fixo en Modelo:Mvar, a función de Modelo:Mvar en si mesmo que mapea Modelo:Mvar en Modelo:Math é unha función bixectiva, con bixección inversa para o mapa correspondente para Modelo:Math. Polo tanto, pódese definir equivalentemente unha acción de grupo de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar como un homomorfismo de grupos de Modelo:Mvar no grupo simétrico Modelo:Math de todas as bixeccións de Modelo:Mvar consigo mesmo.

Acción de grupo pola dereita

Do mesmo xeito existe unha acción de grupo pola dereita que satisfai os axiomas análogos, que na notación breve sería:

Identidade:	$x\cdot e=x$
Compatibilidade:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)$

para todos os Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar e todos os Modelo:Mvar en Modelo:Mvar.

A diferenza entre as accións esquerda e dereita está na orde na que un produto Modelo:Math actúa sobre Modelo:Mvar. Para unha acción esquerda, Modelo:Mvar actúa primeiro, seguido de Modelo:Mvar segundo. Para unha acción dereita, Modelo:Mvar actúa primeiro, seguido de Modelo:Mvar segundo. A maiores, unha acción pola dereita dun grupo Modelo:Mvar en Modelo:Mvar pódese considerar como unha acción pola esquerda do seu grupo oposto Modelo:Math en Modelo:Mvar.

Así, para estabelecer as propiedades xerais das accións de grupo, abonda con considerar só as accións pola esquerda. No entanto, hai casos nos que isto non é posíbel. Por exemplo, a multiplicación dun grupo induce tanto unha acción pola esquerda como unha acción pola dereita no propio grupo-multiplicación pola esquerda e pola dereita, respectivamente.

Propiedades notábeis das accións

Sexa Modelo:Math un grupo que actúa nun conxunto Modelo:Math. A acción chámase Modelo:Visible anchor ou Modelo:Visible anchor se Modelo:Math para todos os Modelo:Math implica que Modelo:Math. De forma equivalente, o homomorfismo de Modelo:Math no grupo de bixeccións de Modelo:Math correspondente á acción é inxectivo.

A acción chámase Modelo:Visible anchor (ou semiregular ou punto fixo libre) se a afirmación de que Modelo:Math para algúns Modelo:Math implica que Modelo:Math. Noutras palabras, ningún elemento non trivial de Modelo:Math fixa un punto de Modelo:Math. Esta é unha propiedade moito máis forte que a de fidelidade.

O gran matiz entre ambas as defincións está nos termos para todos ou para algúns.

Por exemplo, a acción de calquera grupo sobre si mesmo pola multiplicación pola esquerda é libre. Esta observación implica o teorema de Cayley de que calquera grupo pode mergullarse nun grupo simétrico (que é infinito cando o é o grupo). Un grupo finito pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño moito menor que a súa cardinalidade (porén, tal acción non pode ser libre). Por exemplo, o grupo abeliano Modelo:Math (de cardinalidade Modelo:Math) actúa fielmente nun conxunto de tamaño Modelo:Math. Non sempre é así, por exemplo o grupo cíclico Modelo:Math non pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño inferior a Modelo:Math.

En xeral, o conxunto máis pequeno no que se pode definir unha acción fiel pode variar moito para grupos do mesmo tamaño. Por exemplo, tres grupos de tamaño 120 son o grupo simétrico Modelo:Math, o grupo icosaédrico Modelo:Math e o grupo cíclico Modelo:Math. Os conxuntos máis pequenos nos que se poden definir accións fieis para estes grupos son de tamaño 5, 7 e 16 respectivamente.

Exemplos

Imos ver dous exemplos tomados dos apuntamentos de Keith Conrad

Exemplo 1

O grupo de transformacións lineares afíns $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ onde $f(v)=Av+b$ con $A\in G{L}_n(ℝ)$ (grupo linear xeral de matrices invertíbeis) e $b,v\in {ℝ}^n$ (vectores de reais de dimensión Modelo:Mvar) actúa en ${ℝ}^n$ mediante $f\cdot v=f(v)=Av+b$. Se escribimos $f$ como $f_{A,b}$ a identidade sería $f_{I_n,0}$ e a multiplicación $f_{A,b}\circ f_{A^{\prime },b^{\prime }}=f_{A{A}^{\prime },A{b}^{\prime }+b}$ e a inversa $f_{A,b}^{-1}=f_{A^{-1},-A^{-1}b}$.

Agora comprobamos os axiomas para esta acción:

• Identidade: $f_{I_n,0}\cdot v=I_{n}v+0=v$.
• Compatibilidade: $f_{A,b}\cdot (f_{A^{\prime },b^{\prime }}\cdot v)=(f_{A,b}\circ f_{A^{\prime },b^{\prime }})\cdot v$.

$f_{A,b}\cdot (f_{A^{\prime },b^{\prime }}\cdot v)=f_{A,b}(A^{\prime }v+b^{\prime })=A{A}^{\prime }v+A{b}^{\prime }+b$. Isto é debido a que a multiplicación dunha matriz $n\times n$ por un vector columna de dimensión $n$ é un vector de dimensión $n$ e por tanto $A^{\prime }v+b^{\prime }$ é un vector.

$(f_{A,b}\circ f_{A^{\prime },b^{\prime }})\cdot v=f_{A{A}^{\prime },A{b}^{\prime }+b}(v)=A{A}^{\prime }v+A{b}^{\prime }+b$. Co mesmo resultado que a parte anterior.

Exemplo 2

Para $n\ge 3,D_n$ actúa nun n-gono regular como movementos ríxidos. Tamén o podemos ver como actuando sobre os Modelo:Mvar vértices. Se etiquetamos os vértices de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar facemos que $D_n$ actúe en $1,\cdots n$. Por exemplo para $D_4$ unha rotación $r$ sería o ciclo $(1234)$ e unha reflexión $s$ sería a transposición $(24)$. Así podemos transformar o grupo $D_4$ (diédrico de dimensión 4) no $S_4$ (Permutacións de 4 elementos).

Todas as correspondencias son:

$1=(1),r=(1234),r^2=(13)(24),r^3=(1432),s=(2,4),rs=(12)(34),r^{2}s=(13),r^{3}s=(14)(23)$.

Propiedades de transitividade

A acción de Modelo:Math en Modelo:Math chámase Modelo:Visible anchor se para dous puntos calquera Modelo:Math existe un Modelo:Math para o que Modelo:Math.

A acción é Modelo:Visible anchor (ou Modelo:Visible anchor) se é á vez transitiva e libre. Isto significa que dados Modelo:Math entón o elemento Modelo:Math na definición de transitividade é único. Se un grupo Modelo:Math actúa sobre Modelo:Math simplemente transitivamente, entón chámase espazo homoxéneo principal para Modelo:Math ou [[torsor|Modelo:Math-torsor]].

Unha acción é Modelo:Mvar-transitiva para un conxunto de Modelo:Mvar elementos se é transitiva en todos os pares de elementos diferentes.

Exemplos

A acción do grupo simétrico de Modelo:Math é transitiva, de feito Modelo:Math-transitiva para calquera Modelo:Math até a cardinalidade de Modelo:Math. Se Modelo:Math ten cardinalidade Modelo:Math, a acción do grupo alternante é Modelo:Math-transitiva mais non Modelo:Math-transitiva.

Accións primitivas

Modelo:Principal A acción de Modelo:Math en Modelo:Math chámase primitiva se non hai ningunha partición de Modelo:Math preservada por todos os elementos de Modelo:Math a maiores das particións triviais (todo o conxunto ou a partición en conxuntos unitarios).

Accións de grupos topolóxicos

Modelo:Principal Supoña agora que Modelo:Math é un grupo topolóxico e Modelo:Math un espazo topolóxico no que actúa por homeomorfismos. Dise que a acción é continua se o mapa Modelo:Math é continuo para a topoloxía do produto.

A acción dise que é Modelo:Visible anchor se o mapa Modelo:Math definido por Modelo:Math é propio.Modelo:Sfn Isto significa que dados os conxuntos compactos Modelo:Math o conxunto de Modelo:Math tal que Modelo:Math é compacto. En particular, isto é equivalente a que Modelo:Math con discontinuidade propia é un grupo discreto.

Dise que é localmente libre se existe unha viciñanza Modelo:Math de Modelo:Math tal que Modelo:Math para todos os Modelo:Math e Modelo:Math.

Dise que a acción é fortemente continua se o mapa orbital Modelo:Math é continuo para cada Modelo:Math.

Se Modelo:Math é un grupo de Lie e Modelo:Math unha variedade diferenciábel, entón o subespazo de puntos suaves para a acción é o conxunto de puntos Modelo:Math de tal xeito que o mapa Modelo:Math é suave.

Accións lineares

Modelo:Principal Se Modelo:Math actúa mediante transformacións lineares nun módulo sobre un anel conmutativo, dise que a acción é irredutíbel se non hai submódulos propios Modelo:Math-invariantes distintos de cero. Dise que é semisimple se se descompón como unha suma directa de accións irredutíbeis.

Órbitas e estabilizadores

No composto de cinco tetraedros, o grupo de simetría é o grupo icosaédrico (rotacional) Modelo:Math de orde 60, mentres que o estabilizador dun só tetraedro escollido é o grupo (rotacional) Modelo:Math de orde 12, e o espazo orbital Modelo:Math (de orde 60/12 = 5) identifícase naturalmente cos 5 tetraedros: a clase Modelo:Math corresponde ao tetraedro a quen Modelo:Math envía o tetraedro escollido.

Considere un grupo Modelo:Math que actúa nun conxunto Modelo:Math. Para cada elemento Modelo:Math en Modelo:Math

• A súa Modelo:Visible anchor é ${\mathrm{Orb}}_x=g\cdot x:g\in G\subset X$
• O seu Modelo:Visible anchor é $G_x={\mathrm{Stab}}_x=g\in G:g\cdot x=x\subset G$

Vemos que as órbitas pertencen a $X$ e os estabilizadores a $G$.

Dicimos que Modelo:Math é un punto fixo da acción se $g\cdot x=x$ para todo $g\in G$, que pode verse como ${\mathrm{Orb}}_x=x$ ou ${\mathrm{Stab}}_x=G$.

Exemplos

Exemplo 1

Cando $G{L}_2(ℝ)$ actúa no modo usual sobre ${ℝ}^2$ a órbita de $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ é ${ℝ}^2-0$ pois todo vector menos o vector cero pode ser obtido con $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ aplicando a correspondente matriz invertíbel. $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ b& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ ou $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ sendo unha das dúas matrices cadradas invertíbel (dado Modelo:Mvar ou Modelo:Mvar distinto de cero).

O estabilizador de $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ é $\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& y\end{array}\right):y\ne 0\subset G{L}_2(ℝ)$.

Exemplo 2

Cando $G{L}_2(ℝ)$ actúa no modo usual sobre ${\mathbb{Z}}^2$ (vectores de enteiros en lugar de reais) a órbita de $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ non é ${\mathbb{Z}}^2-0$ pois en $\mathbb{Z}$ as matrices cadradas de dimensión $2\times 2$ só son invertíbeis se o determinante $ad-bc$ é $\pm 1$. Por tanto as órbitas neste caso son os vectores cuxas coordenadas teñen un máximo común divisor $d$ fixo.

Por tanto cada órbita contén un vector da forma $\left(\begin{array}{c}d\\ 0\end{array}\right)$ e o estabilizador de $\left(\begin{array}{c}d\\ 0\end{array}\right)$ é $\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& y\end{array}\right):y\pm 1\subset G{L}_2(ℝ)$.

Modelo:Visible anchor

As órbitas e os estabilizadores están intimamente relacionados. Para un Modelo:Math fixo en Modelo:Math, considere o mapa Modelo:Math dado por Modelo:Math. Por definición, a imaxe Modelo:Math deste mapa é a órbita Modelo:Math. A condición para que dous elementos teñan a mesma imaxe é

$f(g)=f(h)⟺g\cdot x=h\cdot x⟺g^{-1}h\cdot x=x⟺g^{-1}h\in G_x⟺h\in g{G}_x.$

Noutras palabras, Modelo:Math se e só se Modelo:Math e Modelo:Math atópanse no mesmo coset para o subgrupo estabilizador Modelo:Math. Así, a fibra $f^{-1}(\{y\})$ de Modelo:Math sobre calquera Modelo:Math en Modelo:Math está contida nun conxunto dese tipo, e cada un destes cosets tamén está como fibra. Polo tanto, Modelo:Math induce unha Modelo:Em entre o conxunto Modelo:Math de clases secundarias para o subgrupo estabilizador e a órbita Modelo:Math, que envía Modelo:Math. Este resultado coñécese como o teorema órbita-estabilizador.

Se Modelo:Math é finito, o teorema órbita-estabilizador, xunto co teorema de Lagrange, dá

$|G\cdot x|=[G:G_x]=|G|/|G_x|,$

noutras palabras, a lonxitude da órbita de Modelo:Math veces a orde do seu estabilizador é a orde do grupo. En particular, iso implica que a lonxitude da órbita é un divisor da orde do grupo.

Exemplo: Sexa Modelo:Math un grupo de orde prima Modelo:Math que actúa sobre un conxunto Modelo:Math con elementos Modelo:Math. Dado que cada órbita ten Modelo:Math ou Modelo:Math elementos, hai polo menos Modelo:Math órbitas de lonxitude Modelo:Math que son elementos Modelo:Math-invariantes. Máis concretamente, Modelo:Math e o número de elementos Modelo:Math-invariantes que son congruentes módulo Modelo:Math.

Cubo con vértices numerados

Exemplo: Podemos usar o teorema órbita-estabilizador para contar os automorfismos dun grafo. Considere o grafo cúbico como se mostra na imaxe, e denotamos como Modelo:Math o seu grupo de automorfismos. Entón Modelo:Math actúa sobre o conxunto de vértices Modelo:Math, e esta acción é transitiva como se pode ver compoñendo rotacións arredor do centro do cubo. Así, polo teorema órbita-estabilizador, Modelo:Math. Aplicando agora o teorema ao estabilizador Modelo:Math, podemos obter Modelo:Math.

Calquera elemento de Modelo:Math que fixe o 1 debe enviar 2 a 2, 4 ou 5. Como exemplo deste tipo de automorfismos, considere a rotación ao redor do eixo diagonal a través de 1 e 7 por Modelo:Math, que permuta 2, 4, 5 e 3, 6, 8 e fixa 1 e 7. Así Modelo:Math. Aplicando o teorema por terceira vez dáse Modelo:Math. Calquera elemento de Modelo:Math que fixe 1 e 2 debe enviar 3 a 3 ou 6. Reflictir o cubo no plano a través de 1, 2, 7 e 8 é un automorfismo que envía 3 a 6, polo que Modelo:Math. Tamén se ve que Modelo:Math consiste só no automorfismo de identidade, xa que calquera elemento de Modelo:Math que fixa 1, 2 e 3 tamén debe fixar todos os demais vértices, xa que están determinados pola súa adxacencia a 1, 2 e 3. Combinando os cálculos anteriores, agora podemos obter Modelo:Math.

Lema de Burnside

Un resultado moi relacionado co teorema órbita-estabilizador é o lema de Burnside:

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|,$

onde Modelo:Math é o conxunto de puntos fixados por Modelo:Math. Este resultado é útil principalmente cando Modelo:Math e Modelo:Math son finitos, cando se pode interpretar do seguinte xeito: o número de órbitas é igual ao número medio de puntos fixados por elemento de grupo.

Fixando un grupo Modelo:Math, o conxunto de diferenzas formais dos conxuntos finitos Modelo:Math forma un anel chamado anel de Burnside de Modelo:Math, onde a suma corresponde á unión disxunta, e a multiplicación ao produto cartesiano.

Exemplos

• A acción Modelo:Visible anchor de calquera grupo Modelo:Math en calquera conxunto Modelo:Math está definida por Modelo:Math para todos os Modelo:Math en Modelo:Math e todos os Modelo:Math en Modelo:Math; é dicir, cada elemento de grupo induce a permutación de identidade en Modelo:Math.
• En todos os grupos Modelo:Math, a multiplicación pola esquerda é unha acción de Modelo:Math en Modelo:Math: Modelo:Math para todos os Modelo:Math, Modelo:Math en Modelo:Math. Esta acción é libre e transitiva (regular), e constitúe a base dunha demostración rápida do teorema de Cayley: cada grupo é isomorfo a un subgrupo do grupo simétrico de permutacións do conxunto Modelo:Math.
• En todos os grupos Modelo:Math con subgrupo Modelo:Math, a multiplicación pola esquerda é unha acción de Modelo:Math no conxunto de clases Modelo:Math: Modelo:Math para todos os Modelo:Math, Modelo:Math en Modelo:Math. En particular, se Modelo:Math non contén subgrupos normais non triviais de Modelo:Math isto induce un isomorfismo de Modelo:Math a un subgrupo do grupo de permutación de grao Modelo:Math.
• En todos os grupos Modelo:Math, a conxugación é unha acción de Modelo:Math en Modelo:Math: Modelo:Math. Úsase habitualmente unha notación exponencial para a acción pola dereita: Modelo:Math; satisfai (Modelo:Math.
• En todos os grupos Modelo:Math co subgrupo Modelo:Math, a conxugación é unha acción de Modelo:Math nos conxugados de Modelo:Math: Modelo:Math para todos os Modelo:Math en Modelo:Math e Modelo:Math conxugados de Modelo:Math.
• O grupo simétrico Modelo:Math e os seus subgrupos actúan sobre o conxunto Modelo:Math permutando os seus elementos.
• O grupo de simetría dun poliedro actúa sobre o conxunto de vértices dese poliedro. Tamén actúa sobre o conxunto de caras ou o conxunto de arestas do poliedro.
• O grupo de simetría de calquera obxecto xeométrico actúa sobre o conxunto de puntos dese obxecto.
• Para un espazo de coordenadas Modelo:Math sobre un corpo Modelo:Math cun grupo de unidades Modelo:Math, o mapa Modelo:Math dado por Modelo:Math é unha acción de grupo chamada multiplicación escalar.
• O grupo linear xeral Modelo:Math e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie (incluíndo o grupo linear especial Modelo:Math, grupo ortogonal Modelo:Math, o grupo ortogonal especial Modelo:Math e o grupo simpléctico Modelo:Math) son grupos de Lie que actúan sobre o espazo vectorial Modelo:Math. As operacións de grupo danse multiplicando as matrices dos grupos cos vectores de Modelo:Math.
• O grupo linear xeral Modelo:Math actúa sobre Modelo:Math por acción da matriz natural. As órbitas da súa acción clasifícanse polo máximo común divisor de coordenadas do vector en Modelo:Math.
• O grupo afín actúa transitivamente nos puntos dun espazo afín, e o subgrupo V do grupo afín (é dicir, un espazo vectorial) ten acción transitiva e libre (é dicir, regular) sobre estes puntos;, de feito, esta definición pódese utilizar na definición dun espazo afín.
• O grupo linear proxectivo Modelo:Math e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie, que son grupos de Lie que actúan no espazo proxectivo Modelo:Math. Este é un cociente da acción do grupo linear xeral sobre o espazo proxectivo. Particularmente notábel é Modelo:Math, as simetrías da liña proxectiva, que é marcadamente 3-transitiva, conservando a razón anarmónica; o grupo de Möbius Modelo:Math ten un interese particular.
• Os conxuntos sobre os que actúa un grupo Modelo:Math comprenden a categoría de Modelo:Math-conxuntos nos que os obxectos son Modelo:Math-conxuntos e os morfismos son homomorfismos de Modelo:Math-conxuntos: funcións Modelo:Math tal que Modelo:Math para todo Modelo:Math en Modelo:Math.
• O grupo de Galois dunha extensión de corpo Modelo:Math actúa no corpo Modelo:Math mais só ten unha acción trivial sobre os elementos do subcorpo Modelo:Math. Os subgrupos de Modelo:Math corresponden a subcorpos de Modelo:Math que conteñen Modelo:Math, é dicir, extensións de corpo intermedio entre Modelo:Math e Modelo:Math.

• O grupo aditivo dos números reais Modelo:Math actúa sobre o conxunto de funcións reais dunha variábel real de varias maneiras, sendo Modelo:Math igual a, por exemplo, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, ou Modelo:Math, mais non Modelo:Math.
• Dada unha acción de grupo de Modelo:Math en Modelo:Math, podemos definir unha acción inducida de Modelo:Math no conxunto de partes de Modelo:Math, estabelecendo Modelo:Math para cada subconxunto Modelo:Math de Modelo:Math e cada Modelo:Math en Modelo:Math. Isto é útil, por exemplo, para estudar a acción do grande grupo de Mathieu nun 24-conxunto e para estudar a simetría en certos modelos de xeometrías finitas.

• Tendo en conta os Modelo:Math-conxuntos Modelo:Math, Modelo:Math, hai un Modelo:Math-conxunto esquerdo Modelo:Math cuxos elementos son mapas Modelo:Math-equivariantes Modelo:Math, e con unha Modelo:Math-acción esquerda dada por Modelo:Math (onde "Modelo:Math" indica a multiplicación pola dereita por Modelo:Math). Este Modelo:Math-conxunto ten a propiedade de que os seus puntos fixos corresponden a mapas equivariantes Modelo:Math; máis xeralmente, é un obxecto exponencial na categoría de Modelo:Math-conxuntos.

Accións de grupo e grupoides

Modelo:Principal A noción de acción de grupo pódese codificar coa acción groupoide Modelo:Math asociada á acción de grupo. Os estabilizadores da acción son os grupos de vértices do grupoide e as órbitas da acción son os seus compoñentes.

Morfismos e isomorfismos entre conxuntos G

Se Modelo:Math e Modelo:Math son dous conxuntos Modelo:Math, un morfismo de Modelo:Math a Modelo:Math é unha función Modelo:Math tal que <cnt>488</c>nt> para todo</cnt>488</c>nt> Modelo:Math e todos os Modelo:Math en Modelo:Math. Os morfismos dos conxuntos Modelo:Math tamén se chaman mapas equivalente ou Modelo:Math-mapas.

A composición de dous morfismos é de novo un morfismo. Se un morfismo Modelo:Math é bixectivo, entón o seu inverso tamén é un morfismo. Neste caso, Modelo:Math chámase isomorfismo, e os dous Modelo:Math-conxuntos Modelo:Math e Modelo:Math chámanse isomorfos; para todos os efectos prácticos, os conxuntos isomorfos Modelo:Math son indistinguíbeis.

Con esta noción de morfismo, a colección de todos os Modelo:Math-conxuntos forma unha categoría; esta categoría é un topos de Grotendieck (de feito, asumindo unha clase metalóxica, este topos será mesmo booleano).

Variantes e xeneralizacións

Tamén podemos considerar accións de monoides sobre conxuntos, usando os mesmos dous axiomas vistos neste artigo. No entanto, isto non define mapas bixectivos nin relacións de equivalencia. Ver acción de semigrupo.

En lugar de accións sobre conxuntos, podemos definir accións de grupos e monoides sobre obxectos dunha categoría arbitraria: comeza cun obxecto Modelo:Math dalgunha categoría, e despois define unha acción en Modelo:Math como un homomorfismo monoide no monoide de endomorfismos de Modelo:Math. Se Modelo:Math ten un conxunto subxacente, entón todas as definicións e feitos indicados anteriormente pódense transferir. Por exemplo, se tomamos a categoría de espazos vectoriais, obtemos deste xeito representacións de grupo.

A maiores das accións continuas de grupos topolóxicos en espazos topolóxicos, tamén se poden considerar accións suaves de grupos de Lie en variedades suaves, accións regulares de grupos alxébricos en variedades alxébricas de grupos, accións de grupos de esquemas en esquemas. Todos estes son exemplos de obxectos de grupos que actúan sobre obxectos da súa categoría respectiva.

Galería

• 
  Órbita dun triángulo esférico fundamental (marcado en vermello) baixo a acción do grupo octaédrico completo.
• 
  Órbita dun triángulo esférico fundamental (marcado en vermello) baixo a acción do grupo icosaédrico completo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Grupo (matemáticas)
• Grupo con operadores
• Acción de monoide

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld