Terna pitagórica

Unha terna pitagórica consta de tres números enteiros positivos Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math, de tal forma que Modelo:Math. Tal terna escríbese habitualmente Modelo:Math, un exemplo coñecido é Modelo:Math. Se Modelo:Math é unha terna pitagórica, entón tamén o é Modelo:Math para calquera número enteiro positivo Modelo:Math. Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un triángulo rectángulo e chámase triángulo pitagórico.

Unha terna pitagórica primitiva é aquela na que Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math son coprimos (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1).^[1] Por exemplo, Modelo:Math é unha terna pitagórica primitiva mentres que Modelo:Math non o é.

Procurar solucións enteiras da ecuación Modelo:Math é unha ecuación diofantiana. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofantiana non linear.

Exemplos

Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Xerando unha terna

Modelo:Ap

A fórmula de Euclides é unha fórmula fundamental para xerar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros Modelo:Math e Modelo:Math con Modelo:Math. A fórmula indica que os números enteiros

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 m n, c = m^{2} + n^{2}

forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado

m = 9, n = 2

xera a terna primitiva (36,77,85):

b = 9^{2} - 2^{2} = 77, a = 2 \times 9 \times 2 = 36, c = 9^{2} + 2^{2} = 85 .

A terna xerada pola fórmula de Euclides é primitiva se e só se Modelo:Math e Modelo:Math son coprimos e exactamente un deles é par.^[2]

Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros Modelo:Math e Modelo:Math. Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:

a = k \cdot (m^{2} - n^{2}), b = k \cdot (2 m n), c = k \cdot (m^{2} + n^{2})

Escoller Modelo:Math e Modelo:Math entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se Modelo:Math e Modelo:Math son números de Pell consecutivos, Modelo:Math e Modelo:Math diferirán en 1.

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} .

P = (\frac{2 (\frac{m}{n})}{{(\frac{m}{n})}^{2} + 1}, \frac{{(\frac{m}{n})}^{2} - 1}{{(\frac{m}{n})}^{2} + 1}) = (\frac{2 m n}{m^{2} + n^{2}}, \frac{m^{2} - n^{2}}{m^{2} + n^{2}}) .

Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivas

As propiedades dunha terna pitagórica primitiva Modelo:Math con Modelo:Math (sen especificar cal de Modelo:Math ou Modelo:Math é par e cal é impar) inclúen:

$\frac{(c - a) (c - b)}{2}$ é sempre un cadrado perfecto.^[3]

Como moito un entre Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math é un cadrado.^[4]
A area dun triángulo pitagórico non pode ser un cadrado nen dúas veces un cadrado dun enteiro^[5]Modelo:Rp ^[5]Modelo:Rp.
Exactamente un de Modelo:Math ou Modelo:Math é divisible por 2 (é par), e a hipotenusa Modelo:Math é sempre impar.^[6]
Exactamente un de Modelo:Math ou Modelo:Math é divisible por 3, mais nunca Modelo:Math.^[7]^[6]Modelo:Rp
Exactamente un de Modelo:Math ou Modelo:Math é divisible por 4, mais nunca Modelo:Math.^[6]
Exactamente un de Modelo:Math, Modelo:Math ou Modelo:Math é divisible por 5.^[6]
Calquera número impar da forma Modelo:Math, onde Modelo:Math é un número enteiro e Modelo:Math , pode ser a pata impar dunha terna pitagórica primitiva. Porén, só os números pares divisibles por 4 poden ser o cateto par dunha terna pitagórica primitiva. Isto débese a que a fórmula de Euclides para o cateto par dada enriba é Modelo:Math e unha de entre Modelo:Math ou Modelo:Math debe ser igual.
A hipotenusa Modelo:Math (que é sempre impar) é a suma de dous cadrados. Isto require que os seus factores sexan todos da forma $4 k + 1$ . Por tanto, c é da forma Modelo:Math. A secuencia de números posibles da hipotenusa pode verse en Modelo:OEIS.
A área Modelo:Math é un número divisible por 6.

Non hai triángulos pitagóricos nos que a hipotenusa e un cateto sexan catetos doutro triángulo pitagórico; esta é unha das formas equivalentes do teorema do triángulo rectángulo de Fermat.^[5]Modelo:Rp
Cada triángulo pitagórico primitivo ten unha proporción de área, Modelo:Math, a semiperímetro cadrado, Modelo:Math, que é única para si e vén dada por^[8]

\frac{K}{s^{2}} = \frac{n (m - n)}{m (m + n)} = 1 - \frac{c}{s} .

Ningún triángulo pitagórico primitivo ten unha altitude enteira a partir da hipotenusa. ^[9]
Ningún dos ángulos agudos dun triángulo pitagórico pode ser un número racional en graos^[10],(isto ven dado polo teorema de Niven.)

Xeometría da fórmula de Euclides

Puntos racionais na circunferencia unitaria

A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 m n, c = m^{2} + n^{2}

pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na círcunferencia unitaria Modelo:Cita Harvard.

De feito, un punto do plano cartesiano con coordenadas Modelo:Math pertence á circunferencia unitaria se Modelo:Math. O punto é racional se Modelo:Math e Modelo:Math son números racionais, é dicir, se hai coprimos enteiros Modelo:Math tal que

(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1 .

Ao multiplicar os dous membros por Modelo:Math, pódese ver que os puntos racionais da circunferencia están en correspondencia un a un coas ternas pitagóricas primitivas.

O circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha ecuación paramétrica

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} .

A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa Modelo:Math significan que, agás para Modelo:Math, un punto Modelo:Math na circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de Modelo:Math é un número racional. Teña en conta que Modelo:Math tamén é a tanxente da metade do ángulo que está oposto ao lado do triángulo de lonxitude Modelo:Mvar.

Aproximación estereográfica

Proxección estereográfica da circunferencia unitaria sobre o eixo Modelo:Math. Dado un punto Modelo:Math na circunferencia unitaria, traza unha recta dende Modelo:Math ata o punto Modelo:Math (*polo norte*). O punto Modelo:Math′ onde a recta corta co eixo Modelo:Math é a proxección estereográfica de Modelo:Math. Inversamente, comezando cun punto Modelo:Math′ no eixo Modelo:Math, e trazando unha liña de Modelo:Math′ a Modelo:Math, a proxección estereográfica inversa é o punto Modelo:Math onde a recta corta a circunferencia unitaria.

Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de trigonometría ou de forma equivalente usando a proxección estereográfica.

Para o enfoque estereográfico, supoña que Modelo:Math′ é un punto no eixo Modelo:Math con coordenadas racionais

$P^{'} = (\frac{m}{n}, 0) .$

Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto Modelo:Math ten coordenadas

(\frac{x}{1 - y}, 0)

que é racional.

En termos de xeometría alxébrica, a variedade alxébrica de puntos racionais na circunferencia unitaria é biracional á recta afín sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha curva racional, e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.

Espinors e o grupo modular

As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha matriz cadrada da forma

X = [\begin{matrix} c + b & a \\ a & c - b \end{matrix}] .

Unha matriz desta forma é simétrica con determinante

\det X = c^{2} - a^{2} - b^{2}

que é cero precisamente cando Modelo:Math é unha terna pitagórica. Se Modelo:Math corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter rango 1.

Dado que Modelo:Math é simétrico, dun resultado en álxebra linear dedúcese que hai un vector columna Modelo:Math tal que o produto externo Modelo:Bloque numeradocúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un espinor (para o grupo de Lorentz SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).

O grupo modular Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros

A = [\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix}]

con determinante igual a un: Modelo:Math. O grupo modular actúa sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se Modelo:Math ten coeficientes coprimos, entón

[\begin{matrix} m & - v \\ n & u \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}]

onde se seleccionan Modelo:Math e Modelo:Math (mediante o algoritmo de Euclides) para que cumpran Modelo:Math.

Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se Modelo:Math é unha matriz en Modelo:Math, entónModelo:Bloque numeradodá lugar a unha acción sobre a matriz Modelo:Math en (1).

Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de Modelo:Math e Modelo:Math para os que Modelo:Math é impar e Modelo:Math é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o kernel do homomorfismo de grupos

Γ = S L (2, 𝐙) \to S L (2, 𝐙_{2})

onde Modelo:Math é o grupo linear especial sobre o corpo finito Modelo:Math de enteiros módulo 2. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con Modelo:Math para todo Modelo:Math. De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas Modelo:Cita Harvard.

Así temos que o grupo Γ(2) é o grupo libre cuxos xeradores son as matrices

U = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}], L = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}] .

En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices Modelo:Math e Modelo:Math.

Relación cos enteiros gaussianos

Se consideramos o cadrado dun número enteiro gaussiano, obtemos a seguinte interpretación directa da fórmula de Euclides como a representación dun cadrado perfecto dun enteiro gaussiano.

(m + n i)^{2} = (m^{2} - n^{2}) + 2 m n i .

Usando os feitos de que os enteiros gaussianos son un dominio euclidiano e que para un enteiro gaussiano p, $| p |^{2}$ é sempre un cadrado, é posible demostrar que unha terna pitagórica corresponde ao cadrado dun primo enteiro gaussiano se a hipotenusa é un número primo.

Se o número enteiro gaussiano non é primo, entón é o produto de dous enteiros gaussianos p e q con $| p |^{2}$ e $| q |^{2}$ enteiros. Dado que as magnitudes se multiplican nos enteiros gaussianos, o produto debe ser $| p | | q |$ , que cando se eleva ao cadrado para atopar unha terna pitagórica debe ser composto. O contrapositivo completa a proba.

Ecuacións relacionadas

Ecuación de Jacobi–Madden

a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = (a + b + c + d)^{4}

é equivalente á terna especial Pitagórica,

(a^{2} + a b + b^{2})^{2} + (c^{2} + c d + d^{2})^{2} = ((a + b)^{2} + (a + b) (c + d) + (c + d)^{2})^{2}

Hai un número infinito de solucións a esta ecuación xa que a resolución das variables implica unha curva elíptica. Algunhas solucións pequenas,

a, b, c, d = - 2634, 955, 1770, 5400

a, b, c, d = - 31764, 7590, 27385, 48150

Sumas iguais de dous cadrados

Un xeito de xerar solucións a $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ é parametrizar a, b, c, d en termos de enteiros m, n, p, q como segue:^[11]

(m^{2} + n^{2}) (p^{2} + q^{2}) = (m p - n q)^{2} + (n p + m q)^{2} = (m p + n q)^{2} + (n p - m q)^{2} .

Teorema do círculo de Descartes

Para o caso do Teorema do círculo de Descartes onde todas as variables son cadrados,

2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}

Euler demostrou que isto é equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,

(2 a b)^{2} + (2 c d)^{2} = (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})^{2}

(2 a c)^{2} + (2 b d)^{2} = (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}

(2 a d)^{2} + (2 b c)^{2} = (a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2})^{2}

Tamén hai un número infinito de solucións, e para o caso especial cando $a + b = c$ , a ecuación simplifícase a:

4 (a^{2} + a b + b^{2}) = d^{2}

con solucións pequenas como $a, b, c, d = 3, 5, 8, 14$ e pódense resolver como formas cadráticas binarias.

Ternas do triángulo de Herón

Modelo:Principal

Un triángulo de Herón defínese habitualmente como aquel con lados enteiros cuxa área tamén é un número enteiro. As lonxitudes dos lados deste triángulo forman unha terna de Herón Modelo:Math con Modelo:Math. Toda terna pitagórica é unha terna de Herón, porque na terna pitagórica polo menos un dos catetos Modelo:Math, Modelo:Math debe ser par, polo que a área ab/2 é un número enteiro. Non toda terna de Herón é unha terna pitagórica, como mostra o exemplo Modelo:Math de área 24.

Se Modelo:Math é unha terna de Herón, tamén o é Modelo:Math onde Modelo:Math é calquera número enteiro positivo; a súa área será o número enteiro que é Modelo:Math veces a área enteira do triángulo Modelo:Math. A terna de Herón Modelo:Math é primitiva cando a, b, c son coprimos en conxunto,(non é necesario que sexan coprimos por parellas). Aquí vemos algunhas das ternas de Herón primitivas máis simples que non son ternas pitagóricas:

(4, 13, 15) con área 24

(3, 25, 26) con área 36

(7, 15, 20) con área 42

(6, 25, 29) con área 60

(11, 13, 20) con área 66

Pola fórmula de Herón, a condición adicional para que unha terna de números enteiros positivos Modelo:Math con Modelo:Math sexa terna de Herón é que

Modelo:Math

ou equivalentemente

Modelo:Math

sexa un cadrado perfecto distinto de cero divisíbel por 16.

Notas

Modelo:Reflist Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
Modelo:Springer
Interactive Calculator for Pythagorean Triples
The negative Pell equation and Pythagorean triples
Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
Modelo:Cita libro
Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, Modelo:Isbn
Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
Pythagorean Triplets
The Remarkable Incircle of a Triangle
Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Cita libro.
↑ Para a non existencia de solucións cando Modelo:Math and Modelo:Math son ambos os dous cadrados, orixinalmente probado por Fermat, ver Modelo:Cita libro.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Modelo:Cita libro
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Mathworld
↑ Modelo:Cita libro

[1] Modelo:Harvtxt

[2] Modelo:Cita libro

[3] Modelo:Cita libro.

[4] Para a non existencia de solucións cando Modelo:Math and Modelo:Math son ambos os dous cadrados, orixinalmente probado por Fermat, ver Modelo:Cita libro.

[Carmichael1-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Modelo:Cita libro

[Sierpinski-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 Modelo:Cita libro

[7] Modelo:Cita libro

[8] Modelo:Cita libro

[Yiu-9] Modelo:Cita libro

[10] Modelo:Mathworld

[11] Modelo:Cita libro

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]