Matriz simétrica

Matriz simétrica 5x5. Os coeficientes iguais represéntanse coa mesma cor.

En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que aModelo:Sub = aModelo:Sub para todo i e j entre 1 e n, onde aModelo:Sub son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

Exemplos

Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 0& 10\\ 6& 10& 12\end{array}\right)$

Toda matriz diagonal é simétrica.

Propiedades

• Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
• O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

Matrices simétricas reais

Descomposición espectral

Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica $A$ e consiste en facer a súa descomposición na forma

$A=OD{O}^{𝖳}$,

onde $O$ é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de $A$) e onde $D$ é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de $A$.

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz

$\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& -1\end{array}\right)$

admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

Desigualdade de traza de Ky Fan

Denotamos ${𝒮}^n$ o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e ${\lambda }_i(A)\in ℝ$, $i=1,\dots ,n$, os $n$ valores propios de $A\in {𝒮}^n$, en orde descendente:

${\lambda }_1(A)⩾{\lambda }_2(A)⩾\cdots ⩾{\lambda }_n(A).$

Presentamos a función

$\lambda :{𝒮}^n\to {ℝ}^n:A\mapsto ({\lambda }_1(A),\dots ,{\lambda }_n(A))$

e, para un vector columna $v\in {ℝ}^n$, temos $v^{𝖳}$ o vector fila transposto e $\mathrm{Diag}(v)$ a matriz diagonal cuxo coeficiente índice $(i,i)$ é $v_i$. Modelo:Teorema

• Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, $A$ e $B\in {𝒮}^n$ son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, $A=\mathrm{Diag}(1,2)$ e $B=\mathrm{Diag}(2,1)$ conmutan mais $⟨A,B⟩=4$ difire de $\lambda (A{)}^{𝖳}\lambda (B)=5$.
• A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano ${𝒮}^n$ (matrices simétricas) de $M_n(ℝ)$ (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se $A=V\mathrm{Diag}(\lambda (A))V^{𝖳}$ con $V$ ortogonal, temos

$\Vert \lambda (A){\Vert }_2=\Vert \mathrm{Diag}(\lambda (A))\Vert =\Vert V\mathrm{Diag}(\lambda (A))V^{𝖳}\Vert =\Vert A\Vert ,$

onde $\Vert \cdot {\Vert }_2$ e $\Vert \cdot \Vert$ denotan as normas euclidianas canónicas en ${ℝ}^n$ e $M_n(ℝ)$. Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${ℝ}^n$ dan

$⟨A,B⟩⩽\Vert \lambda (A){\Vert }_2\Vert \lambda (B){\Vert }_2=\Vert A\Vert \Vert B\Vert .$

Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${𝒮}^n$ ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a $B$ anterior por $-B$.

• Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya, sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores $x$ e $y$ increméntase co dos vectores $[x]$ e $[y]$ obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:

$\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n:x^{𝖳}y⩽[x{]}^{𝖳}[y].$

Matrices simétricas positivas

Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:

• positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,x^{𝖳}Sx\ge 0;$

• definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n\setminus \{0\},x^{𝖳}Sx>0.$

Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema espectral.
• Matriz cadrada.
• Matriz antisimétrica.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld