Fórmula de Herón

Un triángulo con lados a, b, c e ángulos opostos $\alpha ,\beta ,\gamma$

En xeometría, a fórmula de Herón dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath Sexa Modelo:Tmath o semiperímetro do triángulo, $s=\frac{1}{2}(a+b+c),$ a área Modelo:Tmath é

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra Metrica, aínda que probablemente se coñecía séculos antes.

Exemplo

Sexa Modelo:Tmath o triángulo con lados $a=4,$$b=13,$ e $c=15.$ O semiperímetro deste triángulo é $s=\frac{1}{2}(a+b+c)=$$\frac{1}{2}(4+13+15)=16$, a área será logo

$\begin{array}{cc}A& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}\\ & =\sqrt{16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{576}=24.\end{array}$

Expresións alternativas

A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro,

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}.\\ A& =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}.\end{array}$

A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger,

$-16A^2=\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|.$

Probas

Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos

En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón. Sexan Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath os lados do triángulo e Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

A partir deste coseno obtemos o seno,

$\sin \gamma =\sqrt{1-{\cos }^2\gamma }=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}.$

A altura do triángulo con base Modelo:Tmath mide Modelo:Tmath, e segue

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}(\text{base})(\text{altura})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \gamma \\ & =\frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras

Triángulo coa altura Modelo:Mvar que corta a base Modelo:Mvar en Modelo:Math

A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen. Polo teorema de Pitágoras temos $b^2=h^2+d^2$ e $a^2=h^2+(c-d{)}^2$ segundo a figura de enriba. Restando temos, $a^2-b^2=c^2-2cd.$ Esta ecuación permítenos expresar Modelo:Tmath en función dos lados do triángulo:

$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}.$

Para a altura do triángulo temos $h^2=b^2-d^2.$ Se substituímos Modelo:Tmath coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos

$\begin{array}{cc}{h}^2& =b^2-{\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & =\frac{((b+c{)}^2-a^2\left)\right(a^2-(b-c{)}^2)}{4c^2}\\ & =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & =\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}.\end{array}$

E por último:

$\begin{array}{cc}A& =\frac{ch}{2}\\ & =\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes

Significado xeométrico de Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math. Vexa a lei das cotanxentes para coñecer o razoamento detrás disto.

Se Modelo:Tmath é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude Modelo:Tmath e bases Modelo:Tmath Modelo:Tmath e Modelo:Tmath A súa área combinada é

$A=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=rs,$

onde $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ é o semiperímetro.

O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura Modelo:Tmath e bases Modelo:Tmath Modelo:Tmath e Modelo:Tmath de área combinada (ver lei das cotanxentes)

$\begin{array}{cc}A& =r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\ & =r^2(\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r})\\ & =r^2(\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2})\\ & =r^2(\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2})\\ & =r^2(\frac{s-a}{r}\cdot \frac{s-b}{r}\cdot \frac{s-c}{r})\\ & =\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}.\end{array}$

O paso medio anterior é $\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}=$$\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2},$ a <a href="./Identidades_trigonométricas" rel="mw:WikiLink" data-linkid="undefined" data-cx="{&quot;userAdded&quot;:true,&quot;adapted&quot;:true}">identidade cotanxente tripla</a>, que aplica porque a suma dos semiángulos é $\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}=\frac{\pi }{2}.$

Combinando as dúas, conseguimos

$A^2=s(s-a)(s-b)(s-c).$

Estabilidade numérica

A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que $a\ge b\ge c$ e calcular

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}.$

Respectando os corchetes na avaliación.

Fórmulas semellantes da área do triángulo

En función das medianas , Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath e a súa semisuma, $\sigma =\frac{1}{2}(m_a+m_b+m_c),$ daquela

$A=\frac{4}{3}\sqrt{\sigma (\sigma -m_a)(\sigma -m_b)(\sigma -m_c)}.$

En función das alturas, Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, Modelo:Tmath e a semisuma dos seus recíprocos $H=\frac{1}{2}(h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}),$ daquela

$A^{-1}=4\sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.$

En función dos ángulos Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath e a semisuma dos seus senos $S=\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),$ daquela

$\begin{array}{cc}A& =D^2\sqrt{S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}\\ & =\frac{1}{2}{D}^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\end{array}$

onde Modelo:Tmath é o diámetro do círculo circunscrito, $D=a/\sin \alpha =b/\sin \beta =c/\sin \gamma .$ Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario.

Xeneralizacións

Cuadrilátero cíclico

A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.

A fórmula de Brahmagupta para a área Modelo:Tmath dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath sería

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

onde $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ é o semiperímetro.

Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins.

Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro

Se Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath Modelo:Tmath son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo; Modelo:Tmath oposto a Modelo:Tmath e igual para o resto), daquela

$\text{volume}=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{192uvw}$

onde

$\begin{array}{cc}a& =\sqrt{xYZ}\\ b& =\sqrt{yZX}\\ c& =\sqrt{zXY}\\ d& =\sqrt{xyz}\\ X& =(w-U+v)(U+v+w)\\ x& =(U-v+w)(v-w+U)\\ Y& =(u-V+w)(V+w+u)\\ y& =(V-w+u)(w-u+V)\\ Z& =(v-W+u)(W+u+v)\\ z& =(W-u+v)(u-v+W).\end{array}$

Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas

Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico. Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados Modelo:Tmath Modelo:Tmath e Modelo:Tmath, semiperímetro $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ e área Modelo:Tmath, temos

triángulo na esfera:

${\tan }^2\frac{S}{4}=\tan \frac{s}{2}\tan \frac{s-a}{2}\tan \frac{s-b}{2}\tan \frac{s-c}{2}$

triángulo no plano hiperbólico:

${\tan }^2\frac{S}{4}=\tanh \frac{s}{2}\tanh \frac{s-a}{2}\tanh \frac{s-b}{2}\tanh \frac{s-c}{2}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Shoelace formula

Ligazóns externas

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J. H. Conway discussion on Heron's Formula
• A Geometric Proof of Heron's Formula
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron