Ideal primo

Un diagrama de Hasse dunha parte da retícula de ideais dos números enteiros $\mathbb{Z}.$ Os nodos rubios indican ideais primos. Os nodos rubios e verdes son ideais semiprimos, e os nodos rubios e azuis son ideais primarios.

En álxebra, un ideal primo é un subconxunto dun anel que comparte moitas propiedades importantes dun número primo do anel de enteiros. Os ideais primos para os enteiros son os conxuntos que conteñen todos os múltiplos dun número primo dado, xunto co ideal cero.

Os ideais primitivos son primos e os ideais primos son tanto primarios como semiprimos.

Ideais primos para aneis conmutativos

Definición

Un ideal Modelo:Mvar dun anel conmutativo Modelo:Mvar é primo se ten as dúas propiedades seguintes:

• Se Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son dous elementos de Modelo:Mvar tal que o seu produto Modelo:Math é un elemento de Modelo:Mvar, entón Modelo:Math está en Modelo:Mvar ou Modelo:Math está en Modelo:Mvar ,
• Modelo:Mvar non é todo o anel Modelo:Mvar .

Isto xeneraliza a seguinte propiedade dos números primos, coñecida como lema de Euclides: se Modelo:Math é un número primo e se Modelo:Math divide un produto Modelo:Math de dous enteiros, entón Modelo:Math divide Modelo:Math ou Modelo:Math divide Modelo:Math. Por iso podemos dicir

Un enteiro positivo Modelo:Mvar é un número primo se e só se $n\mathbb{Z}$ é un ideal primo en $\mathbb{Z}.$

Exemplos

• Un exemplo sinxelo: No anel $R=\mathbb{Z},$ o subconxunto dos números pares son un ideal primo.
• Dado un dominio de integridade $R$, calquera elemento primo $p\in R$ xera un ideal primo principal $(p)$. Por exemplo, tomemos un polinomio irredutíbel $f(x_1,\dots ,x_n)$ nun anel polinómico $𝔽[x_1,\dots ,x_n]$ sobre algún corpo $𝔽$. O criterio de Eisenstein para dominios de integridade (de aí UFD) pode ser eficaz para determinar se un elemento nun anel polinómico é irredutíbel.
• Se Modelo:Mvar denota o anel $ℂ[X,Y]$ de polinomios en dúas variables con coeficientes complexos, entón o ideal xerado polo polinomio Modelo:Math é un ideal primo (ver curva elíptica).
• No anel $\mathbb{Z}[X]$ de todos os polinomios con coeficientes enteiros, o ideal xerado por Modelo:Math e Modelo:Mvar é un ideal primo. O ideal consiste en todos os polinomios construídos tomando Modelo:Math veces un elemento de $\mathbb{Z}[X]$ e engadilo a outro polinomio Modelo:Mvar veces en $\mathbb{Z}[X]$ (que converte o coeficiente constante no último polinomio nun coeficiente linear). Polo tanto, o ideal resultante consiste en todos aqueles polinomios cuxo coeficiente constante é par.
• En calquera anel Modelo:Mvar, un ideal maximal é un ideal Modelo:Mvar que é maximal no conxunto de todos os ideais propios de Modelo:Mvar, é dicir, Modelo:Mvar está contido en dous ideais de Modelo:Mvar, a saber Modelo:Mvar mesmo e todo o anel Modelo:Mvar.Todos os ideais maximais son primos. En un dominio de ideais principais cada ideal primo diferente de cero é maximal, pero isto non é certo en xeral. Para o UFD (dominio de factorización única) Modelo:Nowrap teorema nullstellensatz de Hilbert afirma que cada ideal maximal é da forma $(x_1-{\alpha }_1,\dots ,x_n-{\alpha }_n).$
• Se Modelo:Mvar é un variedade suave, Modelo:Mvar é o anel de funcións reais suaves en Modelo:Mvar e, Modelo:Mvar é un punto en Modelo:Mvar, entón o conxunto de todas as funciónssuaves Modelo:Mvar con Modelo:Math forma un ideal primo (mesmo un ideal maximal) en Modelo:Mvar.

Non exemplos

• Considere a composición dos dous cocientes seguintes

$ℂ[x,y]\to \frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1)}\to \frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1,x)}$

Aínda que os dous primeiros aneis son dominios de integridade (de feito o primeiro é un UFD) o último non é un dominio de integridade xa que é isomorfo a

$\frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1,x)}\cong \frac{ℂ[y]}{(y^2-1)}\cong ℂ\times ℂ$

posto que $(y^2-1)$ factoriza en $(y-1)(y+1)$, o que implica a existencia de divisores de cero no anel cociente, evitando que sexa isomorfo a $ℂ$ e en cambio ao dominio non de integridade $ℂ\times ℂ$ (polo teorema chinés do resto ).

Isto demostra que o ideal $(x^2+y^2-1,x)\subset ℂ[x,y]$ non é primo. (Consulte a primeira propiedade que aparece a continuación).

• Outro non exemplo é o ideal $(2,x^2+5)\subset \mathbb{Z}[x]$ xa que temos

$x^2+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^2+5)$

mais ningún de $x-1$ e $x+1$ son elementos do ideal.

Propiedades

• Un ideal Modelo:Math no anel Modelo:Mvar (con unidade) é primo se e só se o anel cociente Modelo:Math é un dominio de integridade. En particular, un anel conmutativo (con unidade) é un dominio de integridade se e só se Modelo:Math é un ideal primo. (Note que o anel cero non ten ideais primos, porque o ideal (0) é todo o anel).
• Un ideal Modelo:Math é primo se e só se o seu conxunto complemento é multiplicativamente pechado.
• Cada anel diferente de cero contén polo menos un ideal primo (de feito contén polo menos un ideal maximal), que é unha consecuencia directa do Teorema de Krull.
• Máis en xeral, se Modelo:Mvar é calquera conxunto multiplicativamente pechado en Modelo:Mvar, entón un lema esencialmente debido a Krull mostra que existe un ideal de Modelo:Mvar maximal respecto ao ser disxunto de Modelo:Mvar, e a maiores o ideal debe ser primo. Isto pode ser xeneralizado a aneis non comutativos. No caso Modelo:Math temos o Teorema de Krull, e isto cubre os ideais maximais de Modelo:Mvar. Outro m-sistema prototipo é o conxunto, Modelo:Math de todos as potencias positivas dun elemento non-nilpotente.
• A preimaxe dun ideal primo baixo un homomorfismo de aneis é un ideal primo. O feito análogo non sempre é certo para ideais maximais, que é unha das razóns polas que os xeómetras alxébricos definen o espectro dun anel como o seu conxunto de ideais primos en vez de maximais; preténdese que un homomorfismo de aneis dea un mapa entre os seus espectros.
• O conxunto de todos os ideais primos (chamado o espectro dun anel) contén elementos minimais (chamados ideais primos minimais). Xeometricamente, estes corresponden a compoñentes irreductíbeis do espectro.
• A suma de dous ideais primos non é necesariamente primo. Por exemplo, considere o anel $ℂ[x,y]$ con ideais primos Modelo:Math e Modelo:Math (os ideais xerados por Modelo:Math e Modelo:Math respectivamente). A súa suma Modelo:Math, porén, non é primo: Modelo:Math pero os seus dous factores non o son. Alternativamente, o anel cociente ten divisores de cero así que non é un dominio de integridade e, polo tanto, Modelo:Math non pode ser primo.
• Non todos os ideais que non poden ser factorizados en dous ideais son un ideal primo; por exemplo, $(x,y^2)\subset ℝ[x,y]$ non se pode factorizar, mais non é primo.
• Nun anel conmutativo Modelo:Mvar con polo menos dous elementos, se cada ideal propio é primo, entón o anel é un corpo. (Se o ideal Modelo:Math é primo, entón o anel Modelo:Mvar é un dominio de integridade. Se Modelo:Mvar é calquera elemento non cero de Modelo:Mvar e o ideal Modelo:Math é primo, entón contén Modelo:Mvar e por tanto Modelo:Mvar é invertíbel).
• Un ideal principal diferente de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo. Nun UFD, cada ideal primo diferente de cero contén un elemento primo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Ideal radical
• Ideal maximal
• Teorema de Dedekind–Kummer
• Corpo de residuos