Complementario (conxuntos)

Modelo:Short description Modelo:Multiple image Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto Modelo:Mvar, denotado usualamente por $A^{\complement }$ (ou Modelo:Math), é o conxunto de elementos que non están en Modelo:Mvar.

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado Modelo:Mvar, o complemento absoluto de Modelo:Mvar é o conxunto de elementos en Modelo:Mvar que non están en Modelo:Mvar.

O complemento relativo de Modelo:Mvar en relación a un conxunto Modelo:Mvar, tamén denominado diferenza de conxuntos de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, escrito $B\setminus A,$ é o conxunto de elementos en Modelo:Mvar que non están en Modelo:Mvar.

O complemento absoluto do disco branco é a zona vermella

Complemento absoluto

Se Modelo:Mvar é un conxunto, entón o complemento absoluto de Modelo:Mvar (ou simplemente o complemento de Modelo:Mvar) é o conxunto de elementos que non están en Modelo:Mvar (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): $$A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.$$Adoita denotarse por $A^{\complement }$. Outras notacións son $\bar{A},A^{\prime },$ ${\complement }_{U}A,\text{ and }\complement A.$

Exemplos

• Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se Modelo:Mvar é o conxunto de números impares, entón o complemento de Modelo:Mvar é o conxunto de números pares. Se Modelo:Mvar é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de Modelo:Mvar é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
• Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto Modelo:Mvar é o pau dos ouros, entón o complemento de Modelo:Mvar é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
• Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

Propiedades

Sexan Modelo:Mvar e Modelo:Mvar dous conxuntos nun universo Modelo:Mvar. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan:

• ${(A\cup B)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
• ${(A\cap B)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Leis do complementario:

• $A\cup A^{\complement }=U.$
• $A\cap A^{\complement }=\mathrm{\varnothing }.$
• ${\mathrm{\varnothing }}^{\complement }=U.$
• $U^{\complement }=\mathrm{\varnothing }.$
• $\text{Se }A\subseteq B\text{, entón }{B}^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$

  (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:

• ${\left(A^{\complement }\right)}^{\complement }=A.$

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Relación coa diferenza:

• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se Modelo:Math é un subconxunto propio non baleiro de Modelo:Math, entón Modelo:Math} é unha partición de Modelo:Math.

Complemento relativo

O complemento relativo de Modelo:Math en Modelo:Math: $B\cap A^{\complement }=B\setminus A$

Definición

Se Modelo:Math e Modelo:Math son conxuntos, entón o complemento relativo de Modelo:Math en Modelo:Math (expresado $B\setminus A$ ), tamén denominado diferenza de conxuntos de Modelo:Math e Modelo:Math (por iso ás veces tamén se expresa como $B-A,$), é o conxunto de elementos que están en Modelo:Math pero non están en Modelo:Math.

Formalmente:$$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$$

Exemplos

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
• Se $ℝ$ é o conxunto dos números reais e $\mathbb{Q}$ é o conxunto de números racionais, entón $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ é o conxunto de números irracionais.

Propiedades

Sexan Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$

  co caso especial importante $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.

• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
• $A\setminus A=\mathrm{\varnothing }.$
• $\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }.$
• $A\setminus \mathrm{\varnothing }=A.$
• $A\setminus U=\mathrm{\varnothing }.$
• Se $A\subset B$, entón $C\setminus A\supset C\setminus B$ .
• $A\supseteq B\setminus C$ é equivalente a $C\supseteq B\setminus A$ .

Relación complementaria

Unha relación binaria $R$ defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos $X\times Y.$ A relación complementaria $\overline{R}$ é o complemento do conxunto de $R$ en $X\times Y.$ O complemento de relación $R$ pódese escribir$$\overline{R}=(X\times Y)\setminus R.$$Xunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Unión.
• Intersección .
• Álxebra de conxuntos.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades