Lema de Euclides

Modelo:Distinguir En álxebra e teoría de números, o lema de Euclides recolle unha propiedade fundamental dos números primos, a saber: Modelo:Refn

Vemos un exemplo, se Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, entón Modelo:Math, e dado que isto é divisible por 19, o lema implica que un ou os dous de 133 ou 143 tamén son divisibles por 19. De feito, Modelo:Math.

Se a premisa do lema non se cumpre, é dicir, Modelo:Math é un número composto, o seu resultado pode ser verdadeiro ou falso. Por exemplo, no caso de Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, o número composto 10 divide Modelo:Math, pero 10 non divide nin 4 nin 15.

Esta propiedade é a clave na demostración do teorema fundamental da aritmética. Modelo:Refn Utilízase para definir elementos primos, unha xeneralización de números primos a aneis conmutativos arbitrarios. O lema de Euclides mostra que nos números enteiros os elementos irredutibles tamén son elementos primos. A proba usa a indución polo que non aplica a todos os dominios de integridade.

Formulacións

O lema de Euclides úsase habitualmente na seguinte forma equivalente: Modelo:Teorema O lema de Euclides pódese xeneralizar do seguinte xeito de números primos a calquera número enteiro. Modelo:Teorema

Historia

O lema aparece primeiro como proposición 30 no Libro VII dos Elementos de Euclides. Está incluído en practicamente todos os libros que abranguen a teoría elemental de números.

A xeneralización do lema a números enteiros apareceu no libro de texto de Jean Prestet Nouveaux Elémens de Mathématiques en 1681.

Proba

Usando a identidade de Bézout

Nas matemáticas modernas, unha demostración común implica a identidade de Bézout, que era descoñecida na época de Euclides. A identidade de Bézout afirma que se Modelo:Math e Modelo:Math son enteiros primos (é dicir, non comparten divisores comúns distintos de 1 e −1) existen números enteiros Modelo:Math e Modelo:Math tales que

$rx+sy=1.$

Sexan Modelo:Math e Modelo:Math coprimos, e supoña que Modelo:Math. Pola identidade de Bézout, existen Modelo:Math e Modelo:Math tal que

$rn+sa=1.$

Multiplicanso os dous lados por Modelo:Math:

$rnb+sab=b.$

O primeiro termo da esquerda é divisible por Modelo:Math, e o segundo termo é divisible por Modelo:Math, que por hipótese é divisible por Modelo:Math. Polo tanto, a súa suma, Modelo:Math, tamén é divisible por Modelo:Math.

Proba do tratado Elementos

O lema de Euclides está demostrado na Proposición 30 do Libro VII dos Elementos de Euclides. A proba orixinal é difícil de entender tal como é, polo que podemos consultar o comentario de Modelo:Harvtxt.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Identidade de Bézout
• Algoritmo de Euclides
• Teorema fundamental da aritmética
• Elemento primo
• Número primo
• Ideal primo

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld