Divisor de cero

En álxebra abstracta, un elemento Modelo:Math dun anel Modelo:Math chámase divisor de cero pola esquerda se existe un Modelo:Math distinto de cero en Modelo:Math tal que Modelo:Math, ou de forma equivalente se o mapa de Modelo:Math a Modelo:Math que envía Modelo:Math a Modelo:Math non é inxectivo.Modelo:Efn Do mesmo xeito, un elemento Modelo:Math dun anel chámase divisor de cero pola dereita se existe un Modelo:Math distinto de cero en Modelo:Math tal que Modelo:Math. Este é un caso parcial de divisibilidade nos aneis. Un elemento que é un divisor de cero pola esquerda ou pola dereita chámase simplemente divisor de cero. Un elemento Modelo:Math divisor de cero á esquerda e á dereita chámase divisor de cero bilateral (o Modelo:Math distinto de cero tal que Modelo:Math pode ser diferente do Modelo:Math distinto de cero tal que Modelo:Math). Se o anel é conmutativo, entón os divisores cero pola esquerda e pola dereita son iguais.

Un elemento dun anel que non é un divisor de cero pola esquerda (respectivamente, non é un divisor de cero pola dereita) chámase esquerdo regular ou esquerdo cancelábel (respectivamente, dereito regular ou dereito cancelábel). Un elemento dun anel que é cancelábel pola esquerda e pola dereita, e polo tanto non é un divisor cero, chámase regular ou cancelábelModelo:Refn. Un anel non cero sen divisores de cero non triviais chámase dominio.

Exemplos

• No ring $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, a clase de residuos $\bar{2}$ é un divisor de cero xa que $\bar{2}\times \bar{2}=\bar{4}=\bar{0}$ .
• O único divisor de cero do anel $\mathbb{Z}$ de enteiros é $0$.
• Un elemento nilpotente dun anel distinto de cero é sempre un divisor de cero bilateral.
• Un elemento idempotente $e\ne 1$ dun anel é sempre un divisor de cero bilateral, xa que $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
• O anel de matrices n × n sobre un corpo ten divisores de cero distintos do cero se n ≥ 2. Abaixo móstranse exemplos de divisores de cero no anel de matrices 2 x 2 :

$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$ $$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

• Un produto directo de dous ou máis aneis distintos de cero sempre ten divisores de cero distintos de cero. Por exemplo, en $R_1\times R_2$ con cada $R_i$ distinto de cero, $(1,0)(0,1)=(0,0)$, así que $(1,0)$ é un divisor de cero.
• Sexa $K$ un corpo e $G$ un grupo. Supoñamos que $G$ ten un elemento $g$ de orde finita $n>1$. Entón no grupo anel (módulo libre e ao mesmo tempo anel) $K[G]$ temos $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^n=0$, sen que ningún dos factores sexa cero, polo tanto $1-g$ é un divisor de cero distinto de cero en $K[G]$.

Divisor de cero unilateral

• Considere o anel de matrices $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)$ con $x,z\in \mathbb{Z}$ e $y\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Entón $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xa& xb+yc\\ 0& zc\end{array}\right)$ e $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xa& ya+zb\\ 0& zc\end{array}\right)$. Se $x\ne 0\ne z$, entón $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)$ é un divisor de cero pola esquerda se e só se $x$ é par, pois$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ 0& 0\end{array}\right)$, e temos que é un divisor de cero pola dereita se e só se $z$ é par por razóns similares. Se calquera dos $x,z$ é $0$, entón é un divisor de cero bilateral.

Non exemplos

• O anel de enteiros módulo un número primo non ten divisores de cero distintos de cero. Dado que cada elemento distinto de cero é unha unidade, este anel é un corpo finito.
• De forma máis xeral, un anel de división non ten divisores de cero distintos de cero.
• Un anel conmutativo distinto de cero cuxo único divisor de cero é 0 chámase dominio de integridade.

Propiedades

• No anel de matrices Modelo:Mvar × Modelo:Mvar sobre un corpo, os divisores de cero pola esquerda e pola dereita coinciden; son precisamente as matrices invertíbeis. No anel de matrices Modelo:Mvar × Modelo:Mvar sobre un dominio de integridade, os divisores de cero son precisamente as matrices con determinante cero.
• Os divisores de cero pola esquerda ou pola dereita nunca poden ser unidades, porque se Modelo:Math é invertíbel e Modelo:Math para algún Modelo:Math distinto de cero, entón Modelo:Math, é unha contradición.
• Un elemento é cancelábel no lado no que é regular. É dicir, se Modelo:Math é regular esquerdo, Modelo:Math implica que Modelo:Math, e do mesmo xeito para regular dereito.

Cero como divisor de cero

Non hai necesidade dunha convención separada para o caso Modelo:Math, porque a definición tamén se aplica neste caso:

• Se Modelo:Math é un anel distinto do anel cero, entón Modelo:Math é un divisor de cero (bilateral), porque calquera elemento distinto de cero Modelo:Mvar satisfai Modelo:Math.
• Se Modelo:Math é o anel cero, no que Modelo:Math, entón Modelo:Math non é un divisor de cero, porque non hai ningún elemento distinto de cero que, multiplicado por Modelo:Math dea Modelo:Math.

Divisor de cero nun módulo

Sexa Modelo:Mvar un anel conmutativo, sexa Modelo:Mvar un módulo Modelo:Mvar e sexa Modelo:Mvar un elemento de Modelo:Mvar. Dise que Modelo:Mvar é Modelo:Mvar-regular se a "multiplicación por Modelo:Mvar", o mapa $M\stackrel{a}{\to }M$ é inxectivo, e dise que Modelo:Mvar é un divisor de cero en Modelo:Mvar en caso contrario. O conxunto de elementos Modelo:Mvar-regulares é un conxunto multiplicativo en Modelo:Mvar. The set of Modelo:Mvar-regular elements is a multiplicative set in Modelo:Mvar.

Especializando as definicións de "Modelo:Mvar-regular" e "divisor de cero en Modelo:Mvar" para o caso Modelo:Math cobre as definicións de "regular" e "divisor de cero" dadas anteriormente neste artigo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Sedenion.
• Anel cociente.

Ligazóns externas

• Zero Divisor (MathWorld).