Nilpotente

En matemáticas, un elemento $x$ dun anel $R$ chámase nilpotente se existe algún número enteiro positivo $n$, chamado índice (ou ás veces grao), de xeito que $x^n=0$.

O termo, xunto co seu irmán idempotente, foi introducido por Benjamin Peirce no contexto do seu traballo sobre a clasificación das álxebras.

Exemplos

• Esta definición pódese aplicar en particular ás matrices cadradas. A matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

é nilpotente porque $A^3=0$. Consulte matriz nilpotent para obter máis información.

• No anel do factor $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$, a clase de equivalencia de 3 é nilpotente porque 3² é congruente con 0 módulo 9.
• Supoña que dous elementos $a$ e $b$ nun anel $R$ satisfán $ab=0$. Daquela o elemento $c=ba$ é nilpotente pois$$\begin{array}{cc}{c}^2& =(ba{)}^2\\ & =b(ab)a\\ & =0.\\ \end{array}$$ Un exemplo con matrices (para a, b): $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Aquí $AB=0$ e $BA=B$.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente pode ser unha unidade (agás no anel trivial, que só ten un único elemento Modelo:Nowrap). Todos os elementos nilpotentes son divisores de cero.

Unha matriz $n\times n$ $A$ con entradas dun corpo é nilpotente se e só se o seu polinomio característico é $t^n$.

Se $x$ é nilpotente, entón $1-x$ é unha unidade, porque $x^n=0$ implica $$(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})=1-x^n=1.$$

De forma máis xeral, a suma dun elemento unitario e un elemento nilpotente é unha unidade cando conmutan.

Aneis conmutativos

Os elementos nilpotentes dun anel conmutativo $R$ forman un ideal $𝔑$; esta é unha consecuencia do teorema binomial. Este ideal é o nilradical do anel. Cada elemento nilpotente $x$ nun anel conmutativo está contido en todo ideal primo $𝔭$ dese anel, xa que $x^n=0\in 𝔭$. Entón $𝔑$ está contido na intersección de todos os ideais primos.

Elementos nilpotentes na álxebra de Lie

Sexa $𝔤$ unha álxebra de Lie. Daquela un elemento $x\in 𝔤$ chámase nilpotente se está en $[𝔤,𝔤]$ e $\mathrm{ad}x$ é unha transformación nilpotente. Vexa tamén: Descomposición de Jordan nunha álxebra de Lie.

Véxase tamén

Outros artigos

• Idempotente (teoría dos aneis)
• Unipotente
• Nil ideal
• Matriz nilpotente

Ligazóns externas

• what are the applications of nilpotent elements/nilpotent ideals?.