Paridade (matemáticas)

Modelo:Barra lateral En matemáticas, un número par é un número enteiro que se pode escribir da forma: 2k (é dicir, divisible de maneira enteira entre 2), onde k é un enteiro (os números pares son os múltiplos do número 2). Os números enteiros que non son pares chámanse números impares e poden escribirse como 2k+1.

Os números pares son:

$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}=\{...,-4,-2,0,2,4,6,8,...\}$

e os impares:

$\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}=\{...,-5,-3,-1,1,3,5,7,...\}$

A paridade dun número enteiro refírese ao seu atributo de ser par ou impar. Comparativamente, dous números son «da mesma paridade» se ao dividilos entre 2 o resto é o mesmo; por exemplo, "2" e "4", ou "3" e "7"; son «da mesma paridade». Polo contrario os números "23" e "44" son «de distinta paridade».

Recoñecemento

Regras de Cuisenaire: o 5 (amarelo) non pode ser dividido exactamente en 2 (vermello) por calquera dúas regras da mesma cor e lonxitude, mentres que 6 (verde escuro) pode dividirse en dúas de 3 (verde claro).

Se a base de numeración utilizada é un número par (por exemplo, base 10 ou base 8), pódese recoñecer un número par se o seu último díxito tamén é par. Por exemplo, o número en base 10 ${352107706}_{10}$ é par porque o seu último díxito (6) tamén é par. O mesmo sucede co número en base 6 ${2145301354}_6={23211718}_{10}$

Se a base do sistema de numeración é impar, o número será par se o número de díxitos impares é par. Por exemplo, en base 3 ${120}_3={15}_{10}$ é impar porque 1 é a súa única cifra impar, mentres que ${321}_5={86}_{10}$ é par porque 3 e 1 son os dous díxitos impares.

Propiedades

• Dous números enteiros consecutivos teñen paridade diferente.
• Dados tres enteiros consecutivos, dous serán da mesma paridade e un deles será necesariamente de paridade distinta dos outros dous.

Sexan $P$ o conxunto dos números pares e $I$ o conxunto dos números impares. Se tomamos o conxunto dos números enteiros téñense as seguintes propiedades:

• $P\subset \mathbb{Z}$
• $I\subset \mathbb{Z}$
• $P\cap I=\mathrm{\varnothing }$
• $P\cup I=\mathbb{Z}$
• $P=\overline{I}=\mathbb{Z}-I$, onde o macron denota o complementario do conxunto.
• $I=\overline{P}=\mathbb{Z}-P$

Sexa $p$ un número par calquera e $i$ un número impar calquera. Cúmprese:

• A suma ou subtracción de dous números pares resulta un número par:

$p\pm p^{\prime }=2n\pm 2n^{\prime }=2(n\pm n^{\prime })=p^{″}$

• A suma ou subtracción de dous números impares resulta un número par:

$i\pm i^{\prime }=(2n-1)\pm (2n^{\prime }-1)=2n\pm 2n^{\prime }+c=2(n\pm n^{\prime }+c)=p$

• A suma ou subtracción dun número par cun número impar resulta un número impar:

$p\pm i=p\pm (p^{\prime }-1)=(p\pm p^{\prime })\pm 1=i^{\prime }$

• A multiplicación dun número par por un número par resulta un número par:

$p\times p^{\prime }=(2n)(2n^{\prime })=2(2n{n}^{\prime })=p^{″}$

• A multiplicación dun número impar por un número impar resulta un número impar:

$i\times i^{\prime }=(2n-1)(2n^{\prime }-1)=2n2n^{\prime }-2n-2n^{\prime }+1=2(2n{n}^{\prime })-2n-2n^{\prime }+1=p-p^{\prime }-p^{″}+1=p^{‴}+1=i^{″}$

• A multiplicación dun número par por un número impar resulta un número par:

$p\times i=(2n)(2n^{\prime }-1)=2n2n^{\prime }-2n=2(2n{n}^{\prime }-n)=p^{\prime }$

Tipos especiais de números pares

• Os números perfectos son pares.
• Os factoriais dos números naturais diferentes de 1 e 0 son pares.
• Os números congruentes de Fibonacci son todos pares. Segundo a definición de Fibonacci que aparece no seu libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente é da forma m·n (m² - n²), con m e n enteiros positivos impares e m > n.

Véxase tamén

Outros artigos

• Paridade do cero