Ideal primario

En matemáticas, especificamente en álxebra conmutativa, dise que un ideal propio Q dun anel conmutativo A é primario se sempre que xy é un elemento de Q entón x ou yⁿ tamén é un elemento de Q, para algún n > 0. Por exemplo, no anel de enteiros Z, (p ⁿ) é un ideal primario se p é un número primo.

A noción de ideais primarios é importante na teoría de aneis conmutativos porque todo ideal dun anel de Noether ten unha descomposición primaria, é dicir, pódese escribir como unha intersección de infinitos ideais primarios. Este resultado coñécese como teorema de Lasker-Noether. En consecuencia, un ideal irredutíbel dun anel noetheriano é primario.

Existen varios métodos para xeneralizar ideais primarios a aneis non conmutativos, mais o tema é estudado con máis frecuencia para aneis conmutativos. Polo tanto, os aneis deste artigo suponse que son aneis conmutativos con identidade.

Exemplos e propiedades

• A definición pode ser rescrita dun xeito máis simétrico: un ideal propio $𝔮$ é primario se, cando $xy\in 𝔮$, temos $x\in 𝔮$ ou $y\in 𝔮$ ou $x,y\in \sqrt{𝔮}$ (aquí $\sqrt{𝔮}$ denota o radical de $𝔮$).
• Un ideal propio Q de R é primario se e só se cada divisor de cero en R/Q é nilpotente (compare isto co caso de ideais primos, onde P é primo se e só se cada divisor de cero en R/P é de feito cero).
• Calquera ideal primo é primario, e ademais un ideal é primo se e só se é primario e semiprimo (tamén chamado ideal radical no caso commutativo).
• Cada ideal primario é primal.
• Se Q é un ideal primario, entón o radical de Q é necesariamente un ideal primo P, e este ideal é chamado o ideal primo asociado de Q. Nesta situación dise que Q é P-primario.
  • Doutra banda, un ideal cuxo radical é primo non é necesariamente primario: por exemplo, se $R=k[x,y,z]/(xy-z^2)$, $𝔭=(\bar{x},\bar{z})$, e $𝔮={𝔭}^2$, entón $𝔭$ é primo e $\sqrt{𝔮}=𝔭$, mais temos $\bar{x}\bar{y}={\bar{z}}^2\in {𝔭}^2=𝔮$,$\bar{x}\in ̸𝔮$ , e ${\bar{y}}^n\in ̸𝔮$ para todo n > 0, así que $𝔮$ non é primario. A descomposición primaria de $𝔮$ é $(\bar{x})\cap ({\bar{x}}^2,\bar{x}\bar{z},\bar{y})$; aquí $(\bar{x})$ é $𝔭$-primario e $({\bar{x}}^2,\bar{x}\bar{z},\bar{y})$ é $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$-primario.
• Se P é un ideal primo maximal, entón calquera ideal contendo unha potencia de P é P-primario. Non todo ideal P-primario necesita ser unha potencia de P, mais si polo menos conter unha potenciar de P; por exemplo o ideal (x, y2) é P-primario para o ideal P = (x, y) no anel k[x, y], mais non é unha potencia de P, no entanto contén P².
• Se A é un anel de Noether e P un ideal primo, entón o kernel de $A\to A_P$, o mapa desde A ata a localización de A en P, é a intersección de todos os P-ideais primarios.
• Un produto finito non baleiro de ideais $𝔭$-primarios é $𝔭$-primario mais un produto infinito de ideais $𝔭$-primarios pode non ser $𝔭$-primario; xa que por exemplo, nun anel noetheriano local con ideal maximal $𝔪$, ${\cap }_{n>0}{𝔪}^n=0$ (Teorema da intersección de Krull) onde cada ${𝔪}^n$ é $𝔪$-primario, por exemplo o produto infinito do ideal maximal $m=⟨x,y⟩$ (e por tanto primo e primario) do anel local $K[x,y]/⟨x^2,xy⟩$ produce o ideal cero, o cal neste caso non é primario (porque o devisor de cero $y$ non é nilpotente). De feito, nun anel de Noether, un produto non baleiro de ideais $Q_i$ $𝔭$-primarios é $𝔭$-primario se e só se existe algún enteiro $n>0$ tal que ${𝔭}^n\subset {\cap }_i{Q}_i$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• On primal ideals, Ladislas Fuchs
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Ideal_(teoría_dos_aneis)#Tipos_de_ideais.

Ligazóns externas

• Primary ideal (Planetmath).

Modelo:Control de autoridades