Función exponencial

Curva da función exponencial $e^x$

Funcións exponenciais con bases 2 e 1/2

A función exponencial é unha función matemática denotada por $f(x)=\exp (x)$ ou $e^x$ (onde o argumento Modelo:Mvar escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais $x$, incluíndo os números irracionais.

As funcións $f(x)=b^x$ para números reais positivos $b$ tamén se coñecen como funcións exponenciais e satisfán a identidade de exponenciación:

$b^{x+y}=b^x{b}^y$ para tódolos $x,y\in ℝ.$

Isto implica que para os números enteiros positivos $n$ temos $b^n=b\times \cdots \times b$ (con $n$ factores), onde $b=b^1$, relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de potenciación. A base natural $e=\exp (1)=2.71828\dots$ é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo, $\exp (x)=e^x$ chámase función exponencial ou función exponencial natural: é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en Modelo:Math é Modelo:Math:

${\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)$ para todos os $x\in ℝ$, e $\exp (0)=1.$

A relación $b^x=e^{x\ln b}$ para $b>0$ e $x$ real ou complexa, permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.

De xeito máis xeral, calquera función $f:ℝ\to ℝ$ definida por

$f(x)=c{e}^{ax}=c{b}^{kx},\text{ con }k=a/\ln b,a\ne 0,b,c>0$

tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial $f^{\prime }=af,f(0)=c$, é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou a lei de Moore.

A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa

$\exp :ℂ\to ℂ$

toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler:

$e^{x+iy}=e^x\cos (y)+i{e}^x\sin (y).$

A función exponencial dos números reais é unha bixección de

$ℝ$

no intervalo

$(0,\mathrm{\infty })$

. A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado Modelo:Nowrap, Modelo:Nowrap ou Modelo:Nowrap

Gráfica

A gráfica de $y=e^x$ ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que Modelo:Mvar aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo Modelo:Mvar, mais atópase arbitrariamente preto del para un Modelo:Mvar negativo grande; así, o eixo Modelo:Mvar é unha asíntota horizontal. A ecuación $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$ significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada Modelo:Mvar nese punto.

Definición formal

A función exponencial (en azul) e a suma dos primeiros Modelo:Math termos da súa serie de potencias (en vermello)

A función exponencial $\exp$ pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias:

$\exp x:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.

Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria $y^{\prime }(x)=y(x)$ coa condición inicial $y^{\prime }(0)=1$ usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto: $$\exp x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$$

Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$ para $f:ℂ\to ℂ$ é unha función exponencial no sentido máis xeral, $f(x)=\exp (kx)$ con $k\in ℂ.$

Derivadas e ecuacións diferenciais

A derivada da función exponencial é igual ao valor da función. Desde calquera punto Modelo:Math da curva (azul), trázase unha recta tanxente (vermello) e unha vertical (verde) de altura Modelo:Math, formando un triángulo rectángulo con base Modelo:Math no eixo Modelo:Math. Dado que a pendente da recta tanxente vermella (a derivada) en Modelo:Math é igual á relación entre a altura do triángulo e a base do triángulo, e a derivada é igual ao valor da función, Modelo:Math debe ser igual á relación de Modelo:Math con Modelo:Math. Polo tanto, a base Modelo:Mvar debe ser sempre 1.

A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando Modelo:Math . É dicir, $$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x,e^0=1.$$

As funcións da forma Modelo:Math para a constante Modelo:Math son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard-Lindelöf).

Tamén, para calquera función diferenciábel Modelo:Math, atopamos, pola regra da cadea: $$\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=f^{\prime }(x)e^{f(x)}.$$

Fraccións continuas para Modelo:Pequeno

Unha fracción continua para Modelo:Math pódese obter mediante unha identidade de Euler: $$e^x=1+\frac{x}{1-\frac{x}{x+2-\frac{2x}{x+3-\frac{3x}{x+4-\ddots }}}}$$

A seguinte fracción continua xeneralizada para Modelo:Math converxe máis rapidamente: $$e^z=1+\frac{2z}{2-z+\frac{z^2}{6+\frac{z^2}{10+\frac{z^2}{14+\ddots }}}}$$

Plano complexo

A función exponencial e^z representada no plano complexo de -2-2i a 2+2i

Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.

A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa: $$\exp z:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}$$

O mesmo pasa coa definición baseada no límite: $$\exp z:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n$$

Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos: $$\exp (w+z)=\exp w\exp z\text{ para todos os }w,z\in ℂ$$

A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.

En particular, cando Modelo:Math ( Modelo:Mvar real), a definición da serie produce a expansión $$\exp (it)=(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots )+i(t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots ).$$

Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de Modelo:Math e Modelo:Math, respectivamente.

Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de $\exp (\pm iz)$ e a serie de potencias equivalentes: $$\begin{array}{cc}& \cos z:=\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!},\\ \text{ e }& \sin z:=\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\end{array}$$

para todo $z\in ℂ.$

Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: :$\exp (iz)=\cos z+i\sin z,\text{ para todo }z\in ℂ.$

A función exponencial complexa é periódica con período Modelo:Math e $\exp (z+2\pi ik)=\exp z$ cúmprese para todo $z\in ℂ,k\in \mathbb{Z}$ .

Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades: $$\begin{array}{cc}& e^{z+w}=e^z{e}^w,\\ & e^0=1,\\ & e^z\ne 0,\\ & \frac{d}{dz}{e}^z=e^z,\\ & {\left(e^z\right)}^n=e^{nz},n\in \mathbb{Z},\end{array}$$

para todos os $w,z\in ℂ.$

A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo Modelo:Math, que é unha función multivalorada.

• Gráficos 3D da parte real, parte imaxinaria e módulo da función exponencial
• 
  Modelo:Math
• 
  Modelo:Math
• 
  Modelo:Math

Cálculo de Modelo:Math onde tanto Modelo:Math como Modelo:Math son complexos

Modelo:Artigo principal A exponenciación complexa Modelo:Math pódese definir convertendo Modelo:Math en coordenadas polares e utilizando a identidade Modelo:Math

$a^b={\left(r{e}^{\theta i}\right)}^b={\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)}^b=e^{((\ln r)+\theta i)b}$

Cando Modelo:Math non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque Modelo:Math non é único.

Álxebras de Lie

Dado un grupo de Lie Modelo:Math e a súa álxebra de Lie asociada $𝔤$, o mapa exponencial é un mapa $𝔤$ Modelo:Math que satisfai propiedades similares. De feito, dado que Modelo:Math é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie Modelo:Math das matrices invertíbeis Modelo:Math ten como álxebra de Lie Modelo:Math, o espazo de todas as matrices Modelo:Math, a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.

A identidade $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$ pode fallar para os elementos da álxebra de Lie Modelo:Math e Modelo:Math que non conmuten; a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios.

Transcendencia

A función Modelo:Math non está no anel das funcións racionais $ℂ(z)$: non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.

Se Modelo:Math son números complexos distintos, entón Modelo:Math son linearmente independentes sobre $ℂ(z)$, e polo tanto Modelo:Math é transcendental en $ℂ(z)$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lista de funcións matemáticas.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer