Función limitada

Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece.

En matemáticas, unha función $f$ definida nalgún conxunto $X$ con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real $M$ tal que

$|f(x)|\le M$

para todo $x$ en $X$. No caso contrario a función dise que é non limitada. 

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde $X$ tómase como o conxunto $\mathbb{N}$ dos números naturais. Así unha secuencia $f=(a_0,a_1,a_2,\dots )$ está limitada se existe un número real $M$ tal que

$|a_n|\le M$

para cada número natural $n$. O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións $l^{\mathrm{\infty }}$.

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións $f:X\to Y$ tomando valores nun espazo máis xeral $Y$ ao esixir que a imaxe $f(X)$ sexa un conxunto limitado $Y$. 

Nocións relacionadas

Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente, cando está limitada en cada punto.

Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante.

Exemplos

• A función seno, $\sin :ℝ\to ℝ$ está limitada xa que $|\sin (x)|\le 1$ para todas as $x\in ℝ$.
• A función $f(x)=(x^2-1{)}^{-1}$, definida para todos os $x$ reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que $x$ se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, $[2,\mathrm{\infty })$ ou $(-\mathrm{\infty },-2]$.
• A función $f(x)=(x^2+1{)}^{-1}$, definida para todos os $x$ reais, está limitada, xa que $|f(x)|\le 1$ para todos os $x$.
• A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: $y=\arctan (x)$ ou $x=\tan (y)$ é crecente para todos os números reais $x$ e limitados por $-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ radiáns
• Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como $f:[0,1]\to ℝ$, está limitada. De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
• Todas as funcións de valores complexos $f:ℂ\to ℂ$ que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa $\sin :ℂ\to ℂ$ debe ser non limitada xa que é enteira.
• A función $f$ que toma o valor 0 para $x$ número racional e 1 para $x$ número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en $[0,1]$ é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións $g:{ℝ}^2\to ℝ$ e $h:(0,1{)}^2\to ℝ$ definida por $g(x,y):=x+y$ e $h(x,y):=\frac{1}{x+y}$ son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.(No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.)

Véxase tamén

Outros artigos

• Límite dunha función.
• Límite dunha sucesión.
• Conxunto limitado