Codominio

Imaxe dunha función f de dominio X e codominio Y. O óvalo pequeno dentro do codominio sería o rango de f.

Nas matemáticas, o codominio ou contradominio é o conxunto final ou conxunto de chegada dunha función $f:X\to Y$; é o conxunto $Y$ que participa na función, e anótase como $Co{d}_f$ , $C_f$ ou $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{)}$.

Sexa $I{m}_f$ a imaxe dunha función $f$, entón $I{m}_f\subseteq C_f$.

Exemplos

• Para unha función

$f:ℝ\to ℝ$

definida por

$f:x\mapsto x^2,$ ou de xeito equivalente $f(x)=x^2,$

o codominio de Modelo:Mvar é $ℝ$, mais Modelo:Mvar non se asigna a ningún número negativo. Así, a imaxe de Modelo:Mvar é o conxunto ${ℝ}_0^{+}$; é dicir, o intervalo $[0,\mathrm{\infty })$.

• Se definimos a función Modelo:Mvar de forma similar modificando o codominio:

$g:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$

$g:x\mapsto x^2.$

Aínda que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar asignan un determinado Modelo:Mvar ao mesmo número, deste xeito non son a mesma función porque teñen codominios diferentes.

• Definimos unha terceira función Modelo:Mvar que mostra o motivo do codominio anterior:

$h:x\mapsto \sqrt{x}.$

O dominio de Modelo:Mvar non pode ser $ℝ$ (porque as reaíces de números negativos non teñen resultado nos números reais) mais pódese definir como ${ℝ}_0^{+}$:

$h:{ℝ}_0^{+}\to ℝ.$

• Indícanse as composicións.

$h\circ f,$

$h\circ g.$

Analizando con estas composicións os exemplos anteriores vemos que Modelo:Math non é útil. É posíbel que Modelo:Mvar, cando se compón con Modelo:Mvar, poida recibir un argumento para o cal non se define ningunha saída: os números negativos non son elementos do dominio de Modelo:Mvar, que é a función da raíz cadrada.

A composición de funcións, polo tanto, é unha noción útil só cando o codominio da función no lado dereito dunha composición (non a súa imaxe, que é unha consecuencia da función e podería ser descoñecida no nivel da composición) é un subconxunto do dominio da función no lado esquerdo.

A maiores, o codominio afecta se unha función é unha sobrexección, xa que a función é sobrexectiva se e só se o seu codominio é igual á súa imaxe. No exemplo, Modelo:Mvar é unha sobrexección mentres que Modelo:Mvar non. O codominio non afecta a se unha función é unha inxección.

Véxase tamén

Outros artigos

• Dominio
• Imaxe