Número p-ádico

Os enteiros 3-ádicos, cos caracteres correspondentes seleccionados no seu grupo dual de Pontryagin.

En teoría de números, dado un número primo Modelo:Mvar, os números Modelo:Mvar-ádicos forman unha extensión dos números racionais que é distinta dos números reais, aínda que con algunhas propiedades similares; os números Modelo:Mvar-ádicos poden escribirse nunha forma similar aos números usuais (unha tira de números en base 10 posibelmente infinita), pero con díxitos baseados nun número primo Modelo:Mvar en lugar do número dez, e estendéndose cara á esquerda e non cara á dereita.

Formalmente, dado un número primo Modelo:Mvar, un número Modelo:Mvar-ádico pódese definir como unha serie formal de potencias

$s=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i=a_k{p}^k+a_{k+1}{p}^{k+1}+a_{k+2}{p}^{k+2}+\cdots$

onde Modelo:Mvar é un número enteiro (que pode ser negativo), e cada $a_i$ é un número enteiro tal que $0\le a_i<p.$

Os enteiros Modelo:Mvar-ádicos (${\mathbb{Z}}_p$) son as series só con potencias positivas $k\ge 0.$ Cando as series que representan os números Modelo:Mvar-ádicos teñen termos negativos entón temos os racionais Modelo:Mvar-ádicos (${\mathbb{Q}}_p$).

Todo número racional pode expresarse de forma única como a suma dunha serie, como se indica arriba, con respecto ao valor absoluto Modelo:Mvar-ádico. Isto permite considerar os números racionais como números Modelo:Mvar-ádicos especiais e, alternativamente, definir os números Modelo:Mvar-ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto Modelo:Mvar-ádico, exactamente como os números reais son o completamento dos números racionais para o valor absoluto habitual.

Motivación

En liñas xerais, a aritmética modular módulo un número enteiro positivo Modelo:Mvar consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa división por Modelo:Mvar, chamado o seu residuo módulo Modelo:Mvar. A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo Modelo:Mvar do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo Modelo:Mvar.

Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o teorema chinés do resto para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.

Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo Modelo:Mvar, e aplicar o lema de Hensel para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de Modelo:Mvar, $p^2,p^3,\dots ,p^n,\dots$ Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número Modelo:Mvar-ádico.

Notación e exemplos

Existen varios xeitos de escribir un número Modelo:Mvar-ádico, as tres máis frecuentes son:

• Como unha serie de potencias de Modelo:Mvar.
• Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
• Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de Modelo:Mvar.

Como se comentou na introdución os enteiros Modelo:Mvar-ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas (${\mathbb{Z}}_p$) e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais Modelo:Mvar-ádicos (${\mathbb{Q}}_p$) ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de ${\mathbb{Z}}_p$.

Enteiros p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$

11 en Modelo:Mvar-ádico:

$11_2=1\cdot 2^0+1\cdot 2^1+0\cdot 2^2+1\cdot 2^3$

$11_2=\dots 1011$ (coincide con base 2)

$11_2=(11\mathrm{mod}2,11\mathrm{mod}{2}^2,11\mathrm{mod}{2}^3,\dots )=(1,3,3,11,11,\dots )$

1/15 en Modelo:Mvar-ádico:

$1/15_7=1\cdot 7^0+5\cdot 7^1+3\cdot 2^2+6\cdot 2^3+0\cdot 2^4+5\cdot 2^5+6\cdot 2^6+\dots$

$1/15_7=\dots \overline{0635}1$ (neste caso a similitude base 7, $0.\overline{0316}$, é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15 = ${\overline{6130}}_7$ en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita).

$1/15_7=(15x\equiv 1(\mathrm{mod}7),15x\equiv 1(\mathrm{mod}{7}^2),15x\equiv 1(\mathrm{mod}{7}^3),\dots )=(1,36,183,2241,\dots )$.

Imos ver un cálculo de $\sqrt{2}$ en Modelo:Mvar-ádico:

• Primeiro termo $x_0$:

Queremos que $x_0^2\equiv 2(\mathrm{mod}7)$.

Atopamos que $x_0=3$ cumpre porque $3^2=9\equiv 2(\mathrm{mod}7)$.

• Segundo termo $x_1$:

Agora, procuramos $x_1=3+u\cdot 7$ tal que $(3+u\cdot 7{)}^2\equiv 2(\mathrm{mod}{7}^2)$.

$(3+u\cdot 7{)}^2=9+6\cdot u\cdot 7+(x_1\cdot 7{)}^2\equiv 2(\mathrm{mod}{7}^2),u=1$

por tanto temos $x_1=10$

• Terceiro termo $x_2$:

Repetimos o proceso para $x_2=7^{2}u+x_1$ que satisfaga $(7^{2}u+x_1{)}^2\equiv 2(\mathrm{mod}{7}^3)$, lévanos a $u=2,x_2=108$.

Logo temos ${\sqrt{2}}_7=(3,10,108\dots )$

Se escribimos este resultado como serie formal de potencias temos (con máis termos):

${\sqrt{2}}_7=3+1\cdot 7+2\cdot 7^2+6\cdot 7^3+1\cdot 7^4+\dots$

Que posicionalmente sería:

${\sqrt{2}}_7=\dots 16213$

esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior:

${\sqrt{2}}_7=\dots 50454$

$\sqrt{-1}$ en Modelo:Mvar-ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior:

Temos $x_0^2\equiv -1(\mathrm{mod}5)$ implica $x_0=2\text{ ou }{x}_0=3$ e podemos seguir ambos os dous camiños.

${\sqrt{-1}}_5=\dots 43212$ ou ${\sqrt{-1}}_5=\dots 13233$ (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).

Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe $x_0^2\equiv -1(\mathrm{mod}7)$.

Racionais p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$

$\frac{22}{85}$ en Modelo:Mvar-ádico:

$22_5=2\cdot 5^0+4\cdot 5^1$ e $85_5=2\cdot 5^1+3\cdot 5^2$

Como veremos máis adiante a valoración da fracción é $-1$, por tanto procuramos $2\cdot 5^0+4\cdot 5^1=(2\cdot 5^1+3\cdot 5^2)(a_{-1}{5}^{-1}+a_0{5}^0+a_1{5}^1+\cdots )$.

E agora resolvemos esa ecuación módulo 5 para obter $a_{-1}=1$, módulo $5^2$ para obter $a_0=3$, etc.

Así temos $22/85_5=\dots 1213403.1=1\cdot 5^{-1}+3\cdot 5^0+4\cdot 5^2+\cdots$

Valoración e valor absoluto

Valoración: Todo número racional distinto de cero pódese escribir $p^v\frac{m}{n},$ onde Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son números enteiros e nin Modelo:Mvar nin Modelo:Mvar son divisíbeis por Modelo:Mvar. O expoñente Modelo:Mvar está determinado unicamente polo número racional e chámase a súa valoración valoración Modelo:Mvar-ádica. A demostración do lema resulta directamente do teorema fundamental da aritmética.

Dunha forma simple: obtemos a descomposición en factores primos do numerador e ten unha valoración que ven dada polo expoñente do factor Modelo:Mvar, facemos igual para o denominador e restamos os dous valores (por ese motivo no exemplo $22/85$ tiña unha valoración Modelo:Math, pois Modelo:Math non ten ningún factor Modelo:Math e Modelo:Math ten un factor Modelo:Math).

Valor absoluto: O valor absoluto Modelo:Mvar-ádico dun número Modelo:Mvar-ádico distinto de cero Modelo:Mvar, é $|x{|}_p=p^{-v(x)};$ para o número Modelo:Mvar-ádico cero, temos $|0{|}_p=0.$

Así temos que o valor absoluto Modelo:Mvar-ádico dun número é o recíproco do primo Modelo:Mvar elevado á súa valoración. Por tanto canto maior sexa na súa descomposición o valor da potencia de Modelo:Mvar máis pequeno é o seu valor absoluto.

Definición

Existen varias definicións equivalentes de números Modelo:Mvar-ádicos. Por exemplo como o completamento dun anel de valoración discreta (ver Modelo:Slink), ou o completamento dun espazo métrico (ver Modelo:Slink), ou como o límites inversos (ver Modelo:Slink).

Enteiros p-ádicos

Os enteiros Modelo:Mvar-ádicos son os números Modelo:Mvar-ádicos cunha valoración non negativa.

Un enteiro Modelo:Mvar-ádico pódese representar como unha secuencia

$x=(x_1\mathrm{mod}p,x_2\mathrm{mod}{p}^2,x_3\mathrm{mod}{p}^3,\dots )$

de residuos Modelo:Mvar mod Modelo:Mvar para cada enteiro Modelo:Mvar, satisfacendo as relacións de congruencia $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}{p}^i)$ para Modelo:Mvar.

Todo número enteiro é un enteiro Modelo:Mvar-ádico. Os números racionais da forma $\frac{n}{d}{p}^k$ con Modelo:Mvar coprimos con Modelo:Mvar e $k\ge 0$ tamén son enteiros Modelo:Mvar-ádicos (pola razón de que Modelo:Mvar ten un inverso multiplicativo módulo Modelo:Mvar para cada Modelo:Mvar).

Os números p-ádicos con expoñentes negativos na súa expansión non son enteiros p-ádicos.

Os enteiros Modelo:Mvar-ádicos forman un anel conmutativo, denotado ${\mathbb{Z}}_p$ ou ${𝐙}_p$, que ten as seguintes propiedades.

• É un dominio de integridade, xa que é un subanel dun corpo, ou xa que o primeiro termo da representación en serie do produto de dúas series Modelo:Mvar-ádicas non nulas é o produto dos seus primeiros termos.
• As unidades (elementos invertibles) de ${\mathbb{Z}}_p$ son os números Modelo:Mvar-ádicos de valoración cero.
• É un dominio de ideal principal (PID), de xeito que cada ideal é xerado por unha potencia de Modelo:Mvar.
• É un anel local de dimensión un de Krull, xa que os seus únicos ideais primos son o ideal cero e o ideal xerado por Modelo:Mvar, o ideal máximo único.
• É un anel de valoración discreto, xa que isto resulta das propiedades anteriores.
• É o completamento do anel local ${\mathbb{Z}}_{(p)}=\{\frac{n}{d}\mid n,d\in \mathbb{Z},d\in ̸p\mathbb{Z}\},$ que é a localización de $\mathbb{Z}$ no ideal primo $p\mathbb{Z}.$

A última propiedade proporciona unha definición dos números Modelo:Mvar-ádicos: o corpo dos números Modelo:Mvar-ádicos é o corpo das fraccións do completamento da localización dos enteiros no ideal primo xerado por Modelo:Mvar.

Propiedades topolóxicas

A valoración Modelo:Mvar-ádica permite definir un valor absoluto en números Modelo:Mvar-ádicos: o valor absoluto Modelo:Mvar-ádico dun número Modelo:Mvar-ádico distinto de cero Modelo:Mvar é

$|x{|}_p=p^{-v_p(x)},$

onde $v_p(x)$ é a valoración Modelo:Mvar-ádica de Modelo:Mvar. O valor absoluto Modelo:Mvar-ádico de $0$ é $|0{|}_p=0.$ Este é un valor absoluto que satisfai a desigualdade forte do triángulo xa que, para cada Modelo:Mvar e Modelo:Mvar temos

• $|x{|}_p=0$ se e só se $x=0;$
• $|x{|}_p\cdot |y{|}_p=|xy{|}_p$
• $|x+y{|}_p\le \max (|x{|}_p,|y{|}_p)\le |x{|}_p+|y{|}_p.$

Máis aínda, se $|x{|}_p\ne |y{|}_p,$ temos $|x+y{|}_p=\max (|x{|}_p,|y{|}_p).$

Isto fai que os números Modelo:Mvar-ádicos sexan un espazo métrico, e mesmo un espazo ultramétrico, coa distancia Modelo:Mvar-ádica definida por $d_p(x,y)=|x-y{|}_p.$

Como a métrica se define a partir dunha valoración discreta, cada bóla aberta tamén está pechada. Máis precisamente, a bóla aberta $B_r(x)=\{y\mid d_p(x,y)<r\}$ é igual á bóla pechada $B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},$ onde Modelo:Mvar é o menor enteiro tal que $p^{-v}<r.$ Do mesmo xeito, $B_r[x]=B_{p^{-w}}(x),$ onde Modelo:Mvar é o maior enteiro tal que $p^{-w}>r.$

Isto implica que os números Modelo:Mvar-ádicos forman un espazo localmente compacto e os enteiros Modelo:Mvar-ádicos, é dicir, a bóla $B_1[0]=B_p(0)$, forma un espazo compacto.

Expansión p-ádica dos números racionais

A expansión decimal dun número racional positivo $r$ é a súa representación como serie

$r=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$

A expansión Modelo:Mvar-ádica dun número racional defínese de xeito similar, pero cun paso de división diferente. Máis precisamente, dado un número primo fixo $p$, todo número racional distinto de cero $r$ pódese escribir unicamente como $r=p^k\frac{n}{d},$ onde $k$ é un número enteiro (posiblemente negativo), $n$ e $d$ son enteiros coprimos con $p$, e $d$ é positivo. O número enteiro $k$ é a valoración Modelo:Mvar-ádica de $r$, denotado $v_p(r),$ e $p^{-k}$ é o seu valor absoluto Modelo:Mvar-ádico, denotado $|r{|}_p$ (o valor absoluto é pequeno cando a valoración é grande). O paso da división consiste en

onde Modelo:Mvar é un número enteiro (posiblemente negativo), e cada $a_i$ é un número enteiro tal que $0\le a_i<p.$ Un enteiro Modelo:Mvar-ádico é un número Modelo:Mvar-ádico tal que $k\ge 0.$

A expansión $p$-ádica de $r$ é a serie formal de potencias

Se $r=p^k\frac{n}{1}$ con $n>0$, o proceso detense eventualmente cun resto cero; neste caso, a serie complétase con termos finais cun coeficiente cero, e daquela a representación de $r$ coincide coa representación en [[Notación posicional|base-Modelo:Mvar]].

O anel cociente ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ pode identificarse co anel $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ dos números enteiros módulo $p^n.$ Isto pódese demostrar observando que todo enteiro Modelo:Mvar-ádico, representado pola súa serie Modelo:Mvar-ádica normalizada, é congruente módulo $p^n$ coa súa suma parcial ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{p}^i,$ cuxo valor é un número enteiro no intervalo $[0,p^n-1].$ Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis de ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ en $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$

$\frac{1}{5}=\dots 121012102_3.$

$\begin{array}{cccc}\frac{1}{5}& =0.01210121\dots (\text{base }3)& & =0\cdot 3^0+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\ \frac{1}{5}& =\dots 121012102(\text{3-ádica})& & =\cdots +2\cdot 3^3+1\cdot 3^2+0\cdot 3^1+2\cdot 3^0.\end{array}$

Os números Modelo:Mvar-ádicos forman un corpo chamado corpo de números Modelo:Math-ádicos e denotado ${\mathbb{Q}}_p$. Hai un único homomorfismo de corpos dos números racionais nos números Modelo:Mvar-ádicos, que mapea un número racional coa súa expansión Modelo:Mvar-ádica. A imaxe deste homomorfismo identifícase habitualmente co corpo dos números racionais. Isto permite considerar os números Modelo:Math-ádicos como unha extensión do corpo dos números racionais, e os números racionais como un subcorpo dos números Modelo:Math-ádicos.

O límite inverso dos aneis ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ defínese como o anel formado polas secuencias $a_0,a_1,\dots$ tal que $a_i\in \mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}$ e $a_i\equiv a_{i+1}(\mathrm{mod}{p}^i)$ para cada Modelo:Mvar.

Cando se realiza a aritmética nesta notación, os díxitos lévanse á esquerda. Tamén é posible escribir expansións Modelo:Mvar-ádicas para que as potencias de Modelo:Mvar aumenten de esquerda a dereita e os díxitos sexan levados cara á dereita. Con esta notación de esquerda a dereita a expansión 3-ádica de $\frac{1}{5}$ é

Propiedades modulares

O anel cociente ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ pódese identificar co anel $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ dos enteiros [[aritmética modula número enteiro Modelo:Mvar-ádico, representado pola súa serie Modelo:Mvar-ádica normalizada, é congruente módulo $p^n$ coa súa suma parcial ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{p}^i,$ cuxo valor é un número enteiro no intervalo $[0,p^n-1].$ Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis desde ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ ata $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$

O límite inverso dos aneis ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ defínese como o anel formado polas secuencias $a_0,a_1,\dots$ tal que $a_i\in \mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}$ e $a_i\equiv a_{i+1}(\mathrm{mod}{p}^i)$ para todo Modelo:Mvar.

A correspondencia que mapea unha serie Modelo:Mvar-ádica normalizada coa secuencia das súas sumas parciais é un isomorfismo de aneis de ${\mathbb{Z}}_p$ no límite inverso de ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p.$ Isto proporciona outra forma de definir os números enteiros Modelo:Mvar-ádicos (ata un isomorfismo).

Esta definición de enteiros Modelo:Mvar-ádicos é especialmente útil para cálculos prácticos, xa que permite construír enteiros Modelo:Mvar-ádicos mediante aproximacións sucesivas.

Por exemplo, para calcular o inverso Modelo:Mvar-ádico (multiplicativo) dun número enteiro, pódese usar o método de Newton, comezando polo inverso módulo Modelo:Mvar; entón, cada paso de Newton calcula o inverso módulo $p^{n^2}$ a partir do inverso módulo $p^n.$

O mesmo método pódese usar para calcular a raíz cadradaModelo:Mvar-ádica dun número enteiro que é un residuo cuadrático módulo Modelo:Mvar. Este parece ser o método máis rápido coñecido para comprobar se un enteiro grande é un cadrado: abonda con comprobar se o enteiro dado é o cadrado do valor atopado en ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$. Aplicar o método de Newton para atopar a raíz cadrada require que $p^n$ sexa maior que o duplo do número enteiro dado, o que se satisfai rapidamente.

O levantamento de Hensel é un método similar que permite "elevar" o módulo de factorización Modelo:Mvar dun polinomio con coeficientes enteiros a un módulo de factorización $p^n$ para valores grandes de Modelo:Mvar. Isto úsase habitualmente nos algoritmos de factorización polinómica.

Cardinalidade

Tanto ${\mathbb{Z}}_p$ como ${\mathbb{Q}}_p$ son non numerábeis e teñen a cardinalidade do continuo. Para ${\mathbb{Z}}_p,$ isto resulta da representación Modelo:Mvar-ádica, que define unha bixección de ${\mathbb{Z}}_p$ no conxunto de partes $\{0,\dots ,p-1{\}}^{\mathbb{N}}.$ Para ${\mathbb{Q}}_p$ isto resulta da súa expresión como unha unión numerabelmente infinita de copias de ${\mathbb{Z}}_p$:

${\mathbb{Q}}_p=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^i}{\mathbb{Z}}_p.$

Principio local-global

O principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por formas cadráticas, pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas.

Completamento dos racionais

Os reais e os números Modelo:Mvar-ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os corpos numéricos alxébricos en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.

Supoña que D é un dominio de Dedekind e que E é o seu corpo de fraccións. Escollemos un ideal principal distinto de cero P de D. Se x é un elemento distinto de cero de E, entón xD é un ideal fraccional e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de D. Escribimos ord_P(x) para denotar o expoñente de P nesta factorización, e para calquera opción de número c maior que 1 podemos definir

$|x{|}_P=c^{-{\mathrm{ord}}_P(x)}.$

O completamento con respecto a este valor absoluto Modelo:Nowrap begin|⋅|_PModelo:Nowrap end é un corpo E_P , esta é a xeneralización natural do corpo dos números p-ádicos para esta definición. A elección de c non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o corpo de residuos D/P é finito, tomar como c o tamaño de D/P.

Por exemplo, cando E é un corpo numérico, o teorema de Ostrowski di que todo valor absoluto non arquimediano non trivial en E' ' xorde como algúns Modelo:Nowrap begin|⋅|PModelo:Nowrap end. Os restantes valores absolutos non triviais en E xorden dos diferentes metgullos de E nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de E nos corpos Cp, poñendo así o descrición de todos os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común.)

Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando E é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os aneis adélicos e os grupos de ideles.

Os enteiros p-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos ${𝕋}_p$. Hai un mapa desde ${𝕋}_p$ ata o grupo de círculos cuxas fibras son os enteiros p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$, en analoxía a como hai un mapa desde $ℝ$ ata o círculo cuxas fibras son $\mathbb{Z}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro. — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro}}
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outras obras:

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro|mr=0195803}}
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Non arquimedeano
• Mecánica cuántica p-ádica
• Teoría p-ádica de Hodge
• Teoría p-ádica de Teichmuller
• Análise p-ádia
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• Lema de Hensel
• Teorema de Mahler
• Complemento a dous

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics