Teorema de Ostrowski

En matemáticas, o teorema de Ostrowski é un teorema da teoría de números demostrado en 1916 por Alexander Ostrowski, segundo o cal calquera valor absoluto non trivial no corpo ℚ dos racionais é equivalente ao valor absoluto habitual ou ao dos valores absolutos p-ádicos.

De forma máis precisa e máis xeral , o teorema de Ostrowski afirma que os únicos valores absolutos non ultramétricos nun corpo K son (se os hai) as aplicacións da forma x ↦ |f (x)| Modelo:Sup, onde f é un mergullo de K no corpo dos complexos, e 0 < c ≤ 1. Daquela os valores absolutos ultramétricos en K son os inducidos por unha valoración real, e para K = ℚ as valoracións reais son as valoracións p-ádicas.

Valor absoluto

Modelo:Ap Sexa K un corpo. Un valor absoluto en K é unha aplicación | ∙ | de K no conxunto dos números reais positivos, que verifica:

$\forall x \in K, | x | = 0 ⟺ x = 0;$
$\forall (x, y) \in K^{2}, | x \times y | = | x | \times | y |;$
$\forall (x, y) \in K^{2}, | x + y | \leq | x | + | y | .$

A aplicación Modelo:Math é entón unha distancia en K.

Se o valor absoluto cumpre a condición Modelo:Pad

\forall (x, y) \in K^{2}, | x + y | \leq \max (| x |, | y |),

máis forte que a condición 3, entón o valor absoluto chámase ultramétrico.

Valor absoluto trivial

O valor absoluto trivial | ∙ |Modelo:Sub nun corpo defínese por

| x |_{0} = {\begin{matrix} 0 & si x = 0 \\ 1 & se x \neq 0 . \end{matrix}

Valor absoluto habitual

O valor absoluto habitual | ∙ | Modelo:Sub en ℚ defínese por

| x |_{\infty} = {\begin{matrix} x & si x \geq 0 \\ - x & si x < 0 . \end{matrix}

Valor absoluto p-ádico

Modelo:Ap Para un número primo fixo p, calquera Modelo:Math racional distinto de cero pode escribirse de forma única na forma

x = p^{n} \frac{a}{b}

onde $n$ , $a$ son enteiros, $b$ é un enteiro estritamente positivo tal que $a$ e $b$ son primos entre si, e $p$ non divide $a$ nin $b$ .

O enteiro Modelo:Math é a valoración p-ádica de Modelo:Math. O valor absoluto p-ádico |∙|Modelo:Sub en ℚ defínese entón por : $| x |_{p} = {\begin{matrix} 0 & si x = 0 \\ p^{- n} & si x \neq 0 . \end{matrix}$ .

Este valor absoluto é ultramétrico ultramétrico.

Valores absolutos equivalentes

Dous valores absolutos nun corpo K dise que son equivalentes cando as distancias asociadas son topoloxicamente equivalentes. Son logo potencias uns dos outros cun expoñente estritamente positivo.