Bóla (matemáticas)

No espazo euclidiano, unha bóla é o volume limitado por unha esfera

En matemáticas, unha bóla é a figura sólida limitada por unha esfera; tamén se lle chama esfera sólida. Pode ser unha bóla pechada (incluíndo os puntos límite que constitúen a esfera) ou unha bóla aberta (excluíndoos).

Estes conceptos defínense non só no espazo euclidiano tridimensional senón tamén para dimensións máis baixas e maiores, e para espazos métricos en xeral. Unha bóla de Modelo:Mvar dimensións chámase hiper-bóla ou Modelo:Mvar-bóla e está limitada por unha hiperesfera ou [[N-esfera|(Modelo:Math)-esfera]] . Así, por exemplo, unha bóla no plano euclidiano é o mesmo que un disco, a área delimitada por un circunferencia. No espazo 3-euclidiano , considérase que unha bóla é o volume limitado por unha esfera bidimensional. Nun espazo unidimensional, unha bola é un segmento de liña.

Noutros contextos, como na xeometría euclidiana e no uso informal, a esfera úsase ás veces para significar bóla. No campo da topoloxía o bóla pechada n-dimensional adoita denotarse como $B^n$ ou $D^n$ mentres que a bóla aberta n-dimensional é $\mathrm{int}{B}^n$ ou $\mathrm{int}{D}^n$.

No espazo euclidiano

No Modelo:Mvar-espazo euclidiano, unha Modelo:Mvar-bóla (aberta) de raio Modelo:Mvar e centro Modelo:Mvar é o conxunto de todos os puntos de distancia menor que Modelo:Mvar desde Modelo:Mvar. Unha Modelo:Mvar-bola pechada de raio Modelo:Mvar é o conxunto de todos os puntos de distancia menor ou igual a Modelo:Mvar desde Modelo:Mvar.

No espazo Modelo:Mvar-euclidiano, toda bóla está limitada por unha hiperesfera. A bóla é un intervalo limitado cando Modelo:Math, é un disco limitado por unha circunferencia cando Modelo:Math e está limitado por unha esfera cando Modelo:Math.

En espazos métricos en xeral

Sexa Modelo:Math un espazo métrico, é dicir, un conxunto Modelo:Mvar cunha métrica (función de distancia) Modelo:Mvar, e sexa Modelo:Tmath un número real positivo. A bóla aberta (métrica) de raio Modelo:Mvar centrada nun punto Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, normalmente denotada como Modelo:Math ou Modelo:Math, defínese do mesmo xeito que unha bóla euclidiana, como o conxunto de puntos en Modelo:Mvar con distancia a Modelo:Mvar menor que Modelo:Mvar, $$B_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$$

A bóla pechada (métrica), ás veces denotada como Modelo:Math ou Modelo:Math, igual que antes pero con menor ou igual, $$B_r[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\le r\}.$$

En particular, unha bóla (aberta ou pechada) sempre inclúe a propia Modelo:Mvar. Unha bóla unitaria (aberta ou pechada) é unha bola de raio 1.

Unha bola nun espazo métrico en xeral non ten por que ser redonda. Por exemplo, unha bola no espazo de coordenadas reais baixo a distancia de Chebyshev é un hipercubo e unha bóla baixo a distancia do taxista é un politopo cruzado. Unha bóla pechada tampouconon ten por que ser compacta. Por exemplo, unha bóla pechada en calquera espazo vectorial normado de dimensións infinitas nunca é compacta. Non entanto, unha bóla nun espazo vectorial será sempre convexa como consecuencia da desigualdade do triángulo.

Un subconxunto dun espazo métrico está limitado se está contido nalgunha bóla. Un conxunto está totalmente limitado se, dado algún raio positivo, está cuberto por un número finito de bólas dese raio.

As bólas abertas dun espazo métrico poden servir de base, dándolle a este espazo unha topoloxía, cuxos conxuntos abertos son todas as posíbeis unións de bólas abertas. Esta topoloxía nun espazo métrico chámase topoloxía inducida pola métrica Modelo:Mvar .

Sexa $\overline{B_r(p)}$ o fechamento da bóla aberta $B_r(p)$ nesta topoloxía. Sempre temos que $B_r(p)\subseteq \overline{B_r(p)}\subseteq B_r[p],$ mais Modelo:Em sempre temos que $\overline{B_r(p)}=B_r[p].$ Por exemplo, nun espazo métrico $X$ coa métrica discreta, temos $\overline{B_1(p)}=\{p\}$ mais $B_1[p]=X$ para calquera $p\in X.$

En espazos vectoriais normados

Calquera espazo vectorial normado Modelo:Mvar con norma $\Vert \cdot \Vert$ tamén é un espazo métrico coa métrica $d(x,y)=\Vert x-y\Vert .$ Neses espazos, unha bóla arbitraria $B_r(y)$ de puntos $x$ arredor dun punto $y$ cunha distancia inferior a $r$ pode verse como unha copia con escala (por $r$) e trasladado (por $y$) dunha bóla unitaria $B_1(0).$ Esas bólas "centradas" con $y=0$ denótanse con $B(r).$

As bólas euclidianas comentadas anteriormente son un exemplo de bólas nun espazo vectorial normado.

Modelo:Mvar-norma

Nun espazo cartesiano Modelo:Math coa [[P-norma|Modelo:Mvar-norma]] Modelo:Mvar, é dicir, se escolle algún $p\ge 1$ e definimos $${\Vert x\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\dots +|x_n{|}^p)}^{1/p},$$ A continuación, unha bóla aberta arredor da orixe con raio $r$ vén dada polo conxunto $$B(r)=\{x\in {ℝ}^n:{\Vert x\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\dots +|x_n{|}^p)}^{1/p}<r\}.$$Para Modelo:Math, nun plano bidimensional ${ℝ}^2$, as "bólas" segundo a norma Modelo:Math (moitas veces chamada métrica do taxista ou Manhattan) están limitadas por cadrados coas súas diagonais paralelas aos eixos de coordenadas; para os que seguen a norma Modelo:Math, tamén chamada métrica de Chebyshev, teñen como límites cadrados cos seus lados paralelos aos eixos de coordenadas. A norma Modelo:Math, coñecida como métrica euclidiana, xera os discos coñecidos dentro de circunferencias, e para outros valores de Modelo:Mvar, as bólas correspondentes son áreas limitadas por curvas de Lamé (hipoelipse ou hiperelipse).

Para Modelo:Math, as bólas Modelo:Math están dentro de octaedros con diagonais aliñadas nos eixos, as bólas Modelo:Math están dentro de cubos con lados aliñados en eixos e os límites das bólas para Modelo:Mvar con Modelo:Math son superelipsoides. Con Modelo:Math xérase o interior das esferas habituais.

Moitas veces tamén se pode considerar o caso de $p=\mathrm{\infty }$, nese caso definimos $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max \{\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|\}$$

Norma xeral convexa

De forma máis xeral, dado calquera subconxunto Modelo:Mvar con simetría central, limitado, aberto e convexo de Modelo:Math, pódese definir unha norma sobre Modelo:Math onde as bólas sexan todas copias de  Modelo:Mvartransladadas e escaladas uniformemente. Teña en conta que este teorema non se cumpre se o subconxunto "aberto" é substituído por un subconxunto "pechado", porque o punto de orixe cualifica pero non define unha norma sobre Modelo:Math.

En espazos topolóxicos

Pódese falar de bólas en calquera espazo topolóxico Modelo:Mvar, non necesariamente inducidas por unha métrica. Unha bóla topolóxica (aberta ou pechada) Modelo:Mvar-dimensional de Modelo:Mvar é calquera subconxunto de Modelo:Mvar que sexa homeomorfo para unha bola Modelo:Mvar euclidiana (aberta ou pechada). As Modelo:Mvar-bólas topolóxicas son importantes na topoloxía combinatoria.

Calquera bola topolóxica aberta Modelo:Mvar é homeomorfa ao espazo cartesiano Modelo:Math e ao [[hipercubo aberto |Modelo:Mvar-cubo unidade]] (hipercubo) Modelo:Math. Calquera bóla topolóxica Modelo:Mvar pechada é homeomorfa ao Modelo:Mvar-cubo pechado Modelo:Math.

Unha bóla Modelo:Mvar é homeomorfa a unha bóla Modelo:Mvar se e só se Modelo:Math. Os homeomorfismos entre unha Modelo:Mvar-bóla aberta Modelo:Mvar e Modelo:Math pódense clasificar en dúas clases, que se poden identificar coas dúas posíbeis orientacións topolóxicas de Modelo:Mvar.

Unha bóla topolóxica Modelo:Mvar non precisa ser suave; se é suave, non ten por que ser difeomorfa a unha Modelo:Mvar-bola euclidiana.

Rexións

Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:

• casquete, limitado por un plano.
• sector, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
• segmento, limitado por un par de planos paralelos.
• coroa, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
• cuña, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica

Outros artigos

• Disco (matemáticas)
• Veciñanza (matemáticas)
• Esfera
• [[n-esfera|Modelo:Mvar-esfera]], ou hiperesfera
• Variedade (xeometría)

Modelo:Control de autoridades