Conxunto de partes
En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto Modelo:Mvar é o conxunto de todos os subconxuntos de Modelo:Mvar, incluíndo o conxunto baleiro e o propio Modelo:MvarModelo:Sfn. Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes.Modelo:Sfn O conxunto de partes de Modelo:Mvar denótase de varias maneiras como Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, , , ou Modelo:Math. Calquera subconxunto de Modelo:Math chámase familia de conxuntos sobre Modelo:Mvar.
Exemplo
Se Modelo:Mvar é o conxunto Modelo:Math, entón todos os subconxuntos de Modelo:Mvar son
- Modelo:Math (tamén escrito como ou , o conxunto baleiro)
- Modelo:Math
- Modelo:Math
- Modelo:Math
- Modelo:Math
- Modelo:Math
- Modelo:Math
- Modelo:Math
e, polo tanto, o conxunto de partes de Modelo:Mvar é Modelo:Math.Modelo:Sfn
Propiedades
Cardinalidade
Se Modelo:Math é un conxunto finito coa cardinalidade Modelo:Math (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto Modelo:Math é Modelo:Math), entón o número de todos os subconxuntos de Modelo:Math é Modelo:Math. Este feito demóstrase a continuación.
- Unha función indicadora dun subconxunto Modelo:Math dun conxunto Modelo:Math coa cardinalidade Modelo:Math é unha función de Modelo:Math no conxunto de dous elementos Modelo:Math denotada como Modelo:Math, e indica se un elemento de Modelo:Math pertence ou non a Modelo:Math. Se Modelo:Math en Modelo:Math pertence a Modelo:Math, daquela Modelo:Math, e Modelo:Math no caso contrario. Cada subconxunto Modelo:Math de Modelo:Math identifícase ou é equivalente á función indicadora Modelo:Math, e a Modelo:Math pois o conxunto de todas as funcións de Modelo:Math a Modelo:Math consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de Modelo:Math. Noutras palabras, Modelo:Math é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes Modelo:Math . Dado que cada elemento en Modelo:Math corresponde a Modelo:Math ou Modelo:Math baixo calquera función en Modelo:Math, o número de todas as funcións en Modelo:Math é Modelo:Math. Dado que o número Modelo:Math pódese definir como Modelo:Math (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o Modelo:Math tamén se denota como Modelo:Math. Obviamente temos Modelo:Math. En xeral, Modelo:Math é o conxunto de todas as funcións de Modelo:Math en Modelo:Math e Modelo:Math .
O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).
Teoría de Conxuntos
Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.
Álxebra
O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).
O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.