Forma cadrática

En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, $$4x^2+2xy-3y^2$$

é unha forma cadrática nas variábeis Modelo:Mvar e Modelo:Mvar. Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo Modelo:Mvar, como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre Modelo:Mvar. Se Modelo:Math, e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.

Introdución

As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en Modelo:Math variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: $$\begin{array}{cccc}q(x)& =a{x}^2& & \text{(unaria)}\\ q(x,y)& =a{x}^2+bxy+c{y}^2& & \text{(binaria)}\\ q(x,y,z)& =a{x}^2+bxy+c{y}^2+dyz+e{z}^2+fxz& & \text{(ternaria)}\end{array}$$ onde Modelo:Math , ... , Modelo:Math son os coeficientes.

Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en Modelo:Math variábeis define unha cádrica Modelo:Math dimensional no espazo proxectivo Modelo:Math dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas Modelo:Math e a orixe: $$q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0){)}^2={\Vert (x,y,z)\Vert }^2=x^2+y^2+z^2.$$

Matriz simétrica asociada

Calquera matriz Modelo:Math denotada por Modelo:Math determina unha forma cadrática Modelo:Math en Modelo:Math variábeis por

$q_A(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j={𝐱}^{𝖳}A𝐱,$ onde Modelo:Math.

Exemplo

Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis Modelo:Math. A matriz Modelo:Mvar ten a forma

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& k\end{array}\right].$

A fórmula anterior dá

$q_A(x,y,z)=a{x}^2+e{y}^2+k{z}^2+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.$

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas Modelo:Math, Modelo:Math e máis Modelo:Math. En particular, a forma cadrática Modelo:Math está definida por unha matriz simétrica única $A=\left[\begin{array}{ccc}a& \frac{b+d}{2}& \frac{c+g}{2}\\ \frac{b+d}{2}& e& \frac{f+h}{2}\\ \frac{c+g}{2}& \frac{f+h}{2}& k\end{array}\right].$

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

Caso xeral

Dada unha forma cadrática Modelo:Math, definida pola matriz Modelo:Math, a matriz

$B=\left(\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\right)$

é simétrica, define a mesma forma cadrática que Modelo:Mvar, e é a única matriz simétrica que define Modelo:Math.

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.

Formas cadráticas reais

Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.

Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal"

${\lambda }_1{\tilde{x}}_1^2+{\lambda }_2{\tilde{x}}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{\tilde{x}}_n^2,$

onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes Modelo:Math determínanse unicamente ata unha permutación.

Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes Modelo:Math son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna Modelo:Math, onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos Modelo:Math teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice Modelo:Math (onde Modelo:Math denota o número de 1s e Modelo:Math denota o número de −1s) é a miúdo escrito como Modelo:Math particularmente na teoría física do espazo-tempo.

Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en Modelo:Math (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, Modelo:Math .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa Modelo:Math unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real Modelo:Math-dimensional. Sexa Modelo:Math a matriz da forma cadrática Modelo:Math nunha base dada. Isto significa que Modelo:Math é unha matriz Modelo:Math simétrica tal que

$q(v)=x^{𝖳}Ax,$

onde x é o vector columna de coordenadas de Modelo:Math na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna Modelo:Math multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel Modelo:Math, Modelo:Math, e a matriz cadrada simétrica Modelo:Math transfórmase noutra matriz cadrada simétrica Modelo:Math do mesmo tamaño segundo a fórmula

$A\to B=S^{𝖳}AS.$

Calquera matriz simétrica Modelo:Math pode transformarse nunha matriz diagonal

$B=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal Modelo:Math, e as entradas diagonais de Modelo:Math determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que Modelo:Math sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que Modelo:Math teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo (Modelo:Math para 0, Modelo:Math para 1 e Modelo:Math para −1) depende só de Modelo:Math. Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números Modelo:Math e Modelo:Math chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección de unha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real Modelo:Math, a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática Modelo:Math.

Definicións

Unha forma cadrática sobre un corpo Modelo:Math é un mapa Modelo:Math dun espazo vectorial de dimensión finita en Modelo:Math tal que Modelo:Math para todo Modelo:Math, Modelo:Math e a función Modelo:Math é bilinear.

Máis concretamente, unha forma cadrática Modelo:Math-aria sobre un corpo Modelo:Math é un polinomio homoxéneo de grao 2 en Modelo:Math variábeis con coeficientes en Modelo:Math:

$q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j,a_{ij}\in K.$

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa Modelo:Math o vector columna con compoñentes Modelo:Math, ... , Modelo:Math e sexa Modelo:Math a matriz Modelo:Math sobre Modelo:Math cuxas entradas son os coeficientes de Modelo:Math. Entón

$q(x)=x^{𝖳}Ax.$

Un vector Modelo:Math é un vector nulo se Modelo:Math.

Dúas formas cadráticas Modelo:Math-arias Modelo:Math e Modelo:Math sobre Modelo:Math son equivalentes se existe unha transformación linear non singular Modelo:Math tal que

$\psi (x)=\phi (Cx).$

Sexa a característica de Modelo:Math diferente de 2.Modelo:Refn A matriz de coeficientes Modelo:Math de Modelo:Math pode substituírse pola matriz simétrica Modelo:Math coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que Modelo:Math é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica Modelo:Math está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia Modelo:Math, a matriz simétrica Modelo:Math de Modelo:Math e a matriz simétrica Modelo:Math de Modelo:Math están relacionadas do seguinte xeito:

$B=C^{𝖳}AC.$

A forma bilinear asociada dunha forma cadrática Modelo:Math defínese por

$b_q(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{𝖳}Ay=y^{𝖳}Ax.$

Así, Modelo:Math é unha forma bilinear simétrica sobre Modelo:Math con matriz Modelo:Math. Pola contra, calquera forma bilinear simétrica Modelo:Math define unha forma cadrática

$q(x)=b(x,x),$

e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en Modelo:Math variábeis son esencialmente as mesmas.

Espazo cadrático

Dado un espazo vectorial Modelo:Math-dimensional Modelo:Math sobre un corpo Modelo:Math, unha forma cadrática en Modelo:Math é unha función Modelo:Math que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función Modelo:Math que mapea as coordenadas de Modelo:Math en Modelo:Math é unha forma cadrática. En particular, se Modelo:Math coa súa base estándar, temos

$q(v_1,\dots ,v_n)=Q([v_1,\dots ,v_n])\text{para}[v_1,\dots ,v_n]\in K^n.$

As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en Modelo:Math, aínda que a forma cadrática Modelo:Math depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático .

O mapa Modelo:Math é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo Modelo:Math en Modelo:Math e Modelo:Math en Modelo:Math:

$Q(av)=a^{2}Q(v).$

Cando a característica de Modelo:Math non é 2, o mapa bilinear Modelo:Math sobre Modelo:Math defínese:

$B(v,w)=\frac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$

Esta forma bilinear Modelo:Math é simétrica. É dicir, Modelo:Math para todo Modelo:Math, Modelo:Math en Modelo:Math, e determina Modelo:Math: Modelo:Math para todo Modelo:Math en Modelo:Math.

O par Modelo:Math formado por un espazo vectorial de dimensión finita Modelo:Math sobre Modelo:Math e un mapa cadrático Modelo:Math de Modelo:Math en Modelo:Math chámase espazo cadrático, e Modelo:Math tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a Modelo:Math. A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, Modelo:Math tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión Modelo:Math Modelo:Math e Modelo:Math son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel Modelo:Math (isometría) tal que

$Q(v)=Q^{\prime }(Tv)\text{ para todo }v\in V.$

As clases de isometría de espazos cadráticos Modelo:Math-dimensionais sobre Modelo:Math corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas Modelo:Math-arias sobre Modelo:Math.

Conceptos relacionados

Dous elementos Modelo:Math e Modelo:Math de Modelo:Math chámanse ortogonais se Modelo:Math. O kernel dunha forma bilinear Modelo:Math está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de Modelo:Math. Modelo:Math é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é Modelo:Math. Se existe un Modelo:Math distinto de cero en Modelo:Math tal que Modelo:Math, a forma cadrática Modelo:Math é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de Modelo:Math a un subespazo Modelo:Math de Modelo:Math é idéntico a cero, entón Modelo:Math é totalmente singular.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular Modelo:Math é o grupo dos automorfismos lineares de Modelo:Math que conservan Modelo:Math: é dicir, o grupo de isometrías de Modelo:Math en si mesmo.

Se un espazo cadrático Modelo:Math ten un produto polo que Modelo:Math é unha álxebra sobre un corpo e cumpre

$\mathrm{\forall }x,y\in AQ(xy)=Q(x)Q(y),$

entón é unha álxebra de composición.

Equivalencia de formas

Toda forma cadrática Modelo:Math en Modelo:Math variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal

$q(x)=a_1{x}_1^2+a_2{x}_2^2+\cdots +a_n{x}_n^2.$

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como Modelo:Math. A clasificación de todas as formas cadráticas ata equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

Significado xeométrico

Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa Modelo:Math, e sexa Modelo:Math unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación Modelo:Math depende dos eigenvalores da matriz Modelo:Math.

Se todos os eigenvalores de Modelo:Math son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide.  Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios Modelo:Math, entón a forma depende do Modelo:Math correspondente. Se o correspondente Modelo:Math , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente Modelo:Math, entón a dimensión Modelo:Math dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de Modelo:Math. Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

Formas cadráticas integrais

As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como Modelo:Math; de forma equivalente, dada unha retícula Modelo:Math nun espazo vectorial Modelo:Math (sobre un corpo con característica 0, como Modelo:Math ou Modelo:Math), unha forma cadrática Modelo:Math é integral en relación a Modelo:Math se e só se ten un valor enteiro en Modelo:Math, o que significa Modelo:Math se Modelo:Math.

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

Formas cadráticas universais

Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces universal. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que Modelo:Math é universal. Ramanujan xeneralizou este Modelo:Math e atopou 54 multiconxuntos Modelo:Math que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente, Modelo:Plainlist Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo, Modelo:Math ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema de Hasse–Minkowski
• Cádrica
• Forma ternaria cadrática de Ramanujan

Ligazóns externas

• Modelo:Eom
• Modelo:Eom