Espazo localmente compacto

Definición formal

Sexa $X$ un espazo topolóxico. $X$ dise localmente compacto se cada punto $x$ de ten unha veciñanza compacta, isto é, existe un conxunto aberto  $U$  e un conxunto compacto $K$, tal que $x\in U\subset K$.

Hai outras definicións comúns que son equivalente se $X$ é Hausdorff, mais que non o son en xeral:

1. Cada punto $x$ de $X$ ten unha veciñanza compacta.

2. Cada punto $x$ de $X$ ten unha veciñanza compacta aberta.

3. Cada punto $x$ de $X$ ten unha base local de veciñanzas compactas.

A condición (1) é moi empregada xa que é a menos restritiva. As outras son equivalentes a esta cando X é Hausdorff. Esta equivalencia é unha consecuencia de que os subconxuntos compactos dun espazo Hausdorff son pechados, e os pechado dos espazos compactos son compactos.

Exemplos e contraexemplos

Espazos Hausdorff compactos

Todo espazo Hausdorff compacto é tamén localmente compacto. Pódense ver varios exemplos na páxina de espazos compactos. Algúns deles son:

• O intervalo pechado [0,1].
• O conxunto de Cantor.
• O cubo de Hilbert.