Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan $V$ e $W$ espazos vectoriais sobre o mesmo corpo $K$. Unha aplicación $T$ de $V$ en $W$ é unha transformación linear se para todo par de vectores $u,v\in V$ e para todo escalar $k\in K$, se satisfai que:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$
2. $T(ku)=kT(u)$.

Exemplos

1. A aplicación $B:ℂ\to ℂ$ que envía $\alpha$ en $\overline{\alpha }$ (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera $ℂ$ como un $ℝ$-espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como $ℂ$-espazo vectorial, xa que $B(i)=-i\ne iB(1)=i$.
2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade $T:V\to V/T(x)=x,$ $\mathrm{\forall }x\in V$, que resulta unha transformación linear.
3. As homotecias: $T:{𝕂}^n\to {𝕂}^n/T(x)=kx$ con $k\in 𝕂$. Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
4. Dada unha matriz $A\in M_{n\times m}(K)$, a función $L_A:K^m\to K^n$ definida como $L_A(x)=Ax$ é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
5. Sexa $V$ o conxunto de funcións continuas en $ℝ$ e defínase $\varphi :V\to V$ mediante $\varphi (f)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$, ocorre que:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(x)dx$

e

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}cf(x)dx=c\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$ para $c\in ℝ$

Polo tanto, cúmprese que $\varphi (f+g)=\varphi (f)+\varphi (g)$ e $\varphi (cf)=c\varphi (f)$ para todo $f$ e $g$ en $V$ e todo $c\in ℝ$, así que $\varphi$ é unha aplicación linear de $V$ en $V$.

Propiedades das transformacións lineares

Sexan $V_{}^{}$ e $W_{}^{}$ espazos vectoriais sobre $K_{}^{}$ (onde $K_{}^{}$ representa o corpo), satisfaise que: Se $T:V\to W$ é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de $T_{}^{}$ como: Modelo:Ecuación É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

1. $0_V\in \ker (T)$ dado que $T(0_V)=0_W$ (para probar isto, obsérvese que $T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)$).
2. Dados $u,v\in \ker (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_W+0_W=0_W\Rightarrow u+v\in \ker (T)$
3. Dados $u\in \ker (T)\wedge k\in \mathrm{\Re }:T(ku)=kT(u)\wedge T(ku)=k{0}_W=0_W\Rightarrow ku\in \ker (T)$

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. $\mathrm{null}(T)=\dim (\ker (T))$

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

• A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
• O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

$\mathrm{ran}(T)=\dim (\mathrm{Im}(T))$

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas

Se f₁:$V$→$W$ e f₂:$V$→$W$ son lineares, entón tamén o é a súa suma f₁+f₂ (definida como (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x)).

Se f :$V$→$W$ é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f:$V$→$W$ forma un subespazo das funcións de $V$ en W. A este subespazo denótase L($W$,$W$) ou Hom($W$,$W$). A dimensión de L($V$,$W$) é igual ao produto das dimensións de $V$ e $W$.

Se f:$V$→$W$ e g:$W$→$Z$ son lineares entón a súa composición g∘f:$V$→$Z$ tamén o é.

Dado un espazo vectorial $V$, o espazo vectorial L($V$,$V$), que adoita denotarse End($V$), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f:$V$→$W$ é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións

• Sexa B = {v_i: i ∈ J} base de $V$ e C = {w_i: i ∈ J} unha colección de vectores de $W$ non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:

$T(v_i)=w_i,\mathrm{\forall }i\in J$

• Sexa $T:V\to W$ unha transformación linear.

entón $\dim (V)=\dim (N(T))+\dim (\mathrm{Im}(T))$

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares

• Funcional linear: So as transformación lineares $T:V\to 𝕂$ (onde $𝕂$ é o corpo base de V).
• Monomorfismo: Se $T:V\to W$ é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. $\ker (T)=0_V$
• Epimorfismo: Se $T:V\to W$ é sobrexectiva.
• Isomorfismo: Se $T:V\to W$ é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
• Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
• Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear

Se $V$ e $W$ teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de $V$ en $W$ pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan $T$:$V$→$W$ unha transformación linear, B={v₁, ..., v_n} unha base de $V$, C={w₁, ..., w_m} base de $W$. Para calcular a matriz asociada a $T$ bas bases B e C cómpre calcular $T$(v_i) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: $T$(v₁)=a₁₁w₁+ ...+a_m1 w_m, ..., $T$(v_n)=a_1nw₁+ ...+a_mn w_m.

A matriz asociada denótase _C[T]_B e é:

${}_C[T{]}_B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...\\ a_{m1}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$ .

Como un vector de $W$ se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u₁, ..., u_n existe e é única a transformación linear que envía v_i en u_i, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear $T$:$V$→$W$ tal que _C [T] _B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que _C [aT+bS] _B = a _C [T] _B + b _C [S] _B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L($V$,$W$) e M_n×mC (K).

De restrinxirse ao caso $V$=$W$, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Álxebra linear
• Teorema rango-nulidade
• Lista de funcións matemáticas
• Operador linear limitado

Ligazóns externas

• Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
• Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales Modelo:Webarchive
• Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
• Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales