Dimensión dun espazo vectorial

Un diagrama das dimensións 1, 2, 3 e 4

En matemáticas, a dimensión dun espazo vectorial V é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de V sobre o seu corpo base. Ás veces chámase dimensión de Hamel ou dimensión alxébrica para distinguilo doutros tipos de dimensión.

Para todo espazo vectorial existe unha base,Modelo:Efn e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade;Modelo:Efn como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos $V$ é de Modelo:Visible anchor se a dimensión de $V$ é finita e de Modelo:Visible anchor se a súa dimensión é infinita.

A dimensión do espazo vectorial $V$ sobre o corpo $F$ pódese escribir como ${\dim }_F(V)$ ou como $[V:F],$ lendo "dimensión de $V$sobre $F$". Cando $F$ pódese inferir do contexto adoita escribirse $\dim (V)$.

Exemplos

O espazo vectorial ${ℝ}^3$ ten como base estándar

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$,

e polo tanto ${\dim }_{ℝ}({ℝ}^3)=3.$ De forma máis xeral, ${\dim }_{ℝ}({ℝ}^n)=n,$ e aínda máis en xeral, ${\dim }_F(F^n)=n$ para calquera corpo $F.$

Os números complexos $ℂ$ son un espazo vectorial real e complexo; temos ${\dim }_{ℝ}(ℂ)=2$ e ${\dim }_{ℂ}(ℂ)=1.$ Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.

Propiedades

Se $W$ é un subespazo linear de $V$ entón $\dim (W)\le \dim (V).$

O espazo ${ℝ}^n$ ten a base estándar $\{e_1,\dots ,e_n\},$ onde $e_i$ é a $i$-ésima columna da matriz de identidade correspondente . Polo tanto, ${ℝ}^n$ ten dimensión $n.$

Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre $F$ coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se $B$ é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión $|B|$ sobre $F$ pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto $F(B)$ de todas as funcións $f:B\to F$ tal que $f(b)=0$ para todos menos finitamente moitos $b$ en $B.$ Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de $F$ para obter o desexado espazo vectorial $F$l.

Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.

Se $F/K$ é unha extensión de corpo, entón $F$ é en particular un espazo vectorial sobre $K.$ Ademais, todo $F$-espazo vectorial $V$ tamén é un $K$-espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula $${\dim }_K(V)={\dim }_K(F){\dim }_F(V).$$En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión $n$ é un espazo vectorial real de dimensión $2n.$

Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se $V$ é un espazo vectorial sobre un corpo $F$ e se a dimensión de $V$ denotase por $\dim V,$ entón:

Se dim $V$ é finito entón $|V|=|F{|}^{\dim V}.$

Se dim $V$ é infinito entón $|V|=\max (|F|,\dim V).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Dimensión de Krull.
• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang no MIT OpenCourseWare