Combinación linear

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma Modelo:Ecuación cos $k_i$ elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

Definición

Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma Modelo:Ecuación Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

Espazos vectoriais

Dado un espazo vectorial V sobre un corpo $𝕂$ e un conxunto $A=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\}$ de vectores en V, é dicir, $A\subset V$, dise que un vector $v\in V$ é combinación linear de A se $\mathrm{\exists }{k}_1,\dots ,k_n\in 𝕂:v=\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i$.

En termos informais, dise que $v$ é combinación linear de vectores de $A$ se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de $A$. Neste caso, tamén se di que $v$ depende linearmente dos vectores de $A$.

Exemplos

Combinación linear de dous vectores no espazo.

1. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9): Modelo:Ecuación
2. En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu $\lambda v$ é combinación linear. Para o caso particular $v\in {ℝ}^2$, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
3. Dado $v\in {ℝ}^3$, dicir que v é combinación linear doutros dous vectores $v_1,v_2$ non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
4. Na ecuación $2x+3y-2z=0$ dise que $z$ é combinación linear de $x$ e de $y$ porque se pode escribir $z=x+\frac{3}{2}y$ sen máis que despexar $z$. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

Espazo xerado

Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como $\text{gen}(A)$, ao conxunto: Modelo:Ecuación onde $𝕂$ é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.

Véxase tamén

Outros artigos

• Independencia linear
• Base (álxebra)
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Produto escalar
• Produto vectorial
• Produto mixto
• Produto tensorial

Ligazóns externas

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.