Número e

Gráfico da equación Modelo:Math. Aquí, Modelo:Mvar é o único número maior que 1 que fai que a área baixo da curva sexa igual a 1.

O número Modelo:Mvar é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828.

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial ($e^x$) e como a súa inversa o logaritmo en base $e$ chamado logaritmo natural ($\log (x)$).

É o único número positivo Modelo:Mvar tal que o gráfico da función Modelo:Math ten unha pendente de 1 cando Modelo:Math.

Por outra parte se temos a área baixo a curva Modelo:Math entre Modelo:Math e Modelo:Math; daquela o número Modelo:Mvar sería o valor de Modelo:Mvar para o cal esta área é igual a 1.

O número Modelo:Mvar tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler Modelo:Mvar), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier. Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.

O número Modelo:Mvar ten unha grande importancia na matemática, xunto con 0, 1, [[Número pi|Modelo:Mvar]] e [[Unidade imaxinaria|Modelo:Mvar]]. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler Modelo:Math e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante Modelo:Mvar, a constante Modelo:Mvar é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de Modelo:Mvar é Modelo:OEIS:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Definicións

O número Modelo:Mvar é o límite

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$

unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots .$

É o número positivo único Modelo:Mvar tal que a gráfica da función Modelo:Math ten unha pendente de 1 en Modelo:Math.

Temos tamén que

$e=\exp (1),$

onde $\exp$ é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación $\exp (0)=1.$. De feito a función exponencial natural escríbese tanto $e^x$ como $\exp (x)$ (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base Modelo:Mvar pódese definir como a función inversa da función $x\mapsto b^x.$ Como $b=b^1,$ temos que ${\log }_{b}b=1.$ A ecuación $e=e^1$ implica, polo tanto, que Modelo:Mvar é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base Modelo:Mvar) sen especificar a base $\log (x)$ e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano $\ln (x)$.

O número Modelo:Mvar tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}=1.$

Para outras caracterizacións, consulte Modelo:Slink.

Historia

As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante Modelo:Mvar aparece como un límite dunha sucesión

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$

onde Modelo:Mvar representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, $n=12$ para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra Modelo:Mvar de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.

A notación coa letra $e$, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.

Euler demostrou que Modelo:Mvar é a suma da serie infinita

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots ,$

onde Modelo:Math é o factorial de Modelo:Mvar.

Propiedades

Cálculo

Móstranse as gráficas das funcións Modelo:Math para Modelo:Math (punteada), Modelo:Math (azul) e Modelo:Math (con trazos). Todas pasan polo punto Modelo:Math, pero a liña vermella (que ten pendente Modelo:Math) é tanxente só a Modelo:Math nese punto.

A principal motivación para introducir o número Modelo:Mvar, particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

$\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}.$

$\int e^{x}dx=e^x+C.$

$\int log(x)dx=xlog(x)-x+C.$

A maiores, a familia de funcións

$y(x)=K{e}^x$

onde Modelo:Mvar é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial

$y^{\prime }=y.$

Desigualdades

En primeiro lugar podemos ver que

${(1+\frac{1}{x})}^x<e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+1}$

para todos os Modelo:Mvar reais positivos.

Tamén temos a desigualdade

$e^x\ge x+1$

para todo número real Modelo:Mvar, dándose a igualdade se e só se Modelo:Math.

Funcións de tipo exponential

O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función

$f(x)=x^{\frac{1}{x}}.$

Este máximo ocorre precisamente en Modelo:Math. (Pódese comprobar que a derivada de Modelo:Math é cero só para ese valor de Modelo:Mvar).

Do mesmo xeito, Modelo:Math é onde se produce o mínimo global para a función

$f(x)=x^x.$

Teoría de números

O número real Modelo:Mvar é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass, Modelo:Mvar é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.

O número Modelo:Mvar é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é $\mu (e)=2$.

Un [[ Lista de problemas sen solucionar en matemáticas|problema sen solucionar]] ata agora é a cuestión de se os números Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son ou non alxébricamente independentes.

Números complexos

A función exponencial Modelo:Math pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo de Modelo:Mvar, úsase habitualmente para ampliar a definición de Modelo:Math aos números complexos:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

que se cumpre para todo complexo Modelo:Mvar. O caso especial con Modelo:Math é a identidade de Euler:

$e^{i\pi }+1=0.$

A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo,

$\ln (-1)=i\pi .$

E empregando as leis para a exponenciación,

$(\cos x+i\sin x{)}^n={\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$

para calquera número enteiro Modelo:Mvar, que é a formula de De Moivre.

As expresións de Modelo:Math e Modelo:Math en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

A expresión

$\cos x+i\sin x$

ás veces abréviase como Modelo:Math.

Resumo

• O número $e$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
• O logaritmo natural de $e$ é 1.
• É a base dos logaritmos neperianos ou naturais ($\log (x)$ ou $\ln (x)$).
• É a base da función exponencial ($\exp (x)$ ou $e^x$).
• A identidade de Euler relaciona ao número $e$ co valor imaxinario, $i$, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

$e^{i\pi }+1=0$.

• $\rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }$.
• É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica.
• Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}+...$
• $2\le {(1+\frac{1}{n})}^n<e<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\le 4$

Representacións

Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número Modelo:Math represéntase como a fracción continua simple infinita:Modelo:OEIS

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\dots ,1,2n,1,\dots ]$

Como produto infinito:

$e=\frac{2}{1}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{1/2}{\left(\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}\right)}^{1/4}{\left(\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}\right)}^{1/8}\cdots .$

Como serie infinita:

$e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$,

$e^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Vexamos algunha serie máis:

$e=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k+1}{k!}$

$e=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k+1}{(2k+1)!}$

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$

Aplicando o teorema do binomio

$e_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}\frac{1}{n^k}$

que tende a $e$ segundo $n$ tende a $\mathrm{\infty }$. (O termo $n^{\underset{\_}{k}}$ é o $k$-ésimo factorial descendente de $n$).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas,

$e^x=\sinh (x)+\cosh (x)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• for another stochastic representation
• Modelo:Cita revista

Outros artigos

• Medida de irracionalidade
• Fracción continua xeneralizada
• Aproximación de Stirling
• Constante matemática

Ligazóns externas

• 10 000 díxitos do número e Modelo:Webarchive
• Aproximações de Modelo:Mvar Modelo:En no Wolfram MathWorld
• Primeiros usos de símbolos para constantes Modelo:En 13 de xaneiro de 2008
• A história de Modelo:Mvar , por Robin Wilson no Gresham College, 28 de febreiro de 2007 (download disponíbel do áudio e vídeo)