Fracción continua xeneralizada

Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha fracción continua xeneralizada é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

x = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{b_{4} + ⋱}}}}

onde Modelo:Math (Modelo:Math) son os numeradores parciais, os Modelo:Math os denominadores parciais e o termo principal Modelo:Math chámase parte enteira da fracción continua.

Os sucesivos converxentes da fracción continua fórmanse aplicando as fórmulas de recorrencia :

\begin{matrix} A_{n} & = b_{n} A_{n - 1} + a_{n} A_{n - 2}, \\ B_{n} & = b_{n} B_{n - 1} + a_{n} B_{n - 2} for n \geq 1 \end{matrix}

con valores iniciais

\begin{matrix} A_{- 1} & = 1, & A_{0} & = b_{0}, \\ B_{- 1} & = 0, & B_{0} & = 1 . \end{matrix}

onde Modelo:Math é o numerador e Modelo:Math o denominador, chamados continuantes, Modelo:Sfn Modelo:Sfn do Modelo:Math-ésimo converxente.

Historia

Modelo:Harvtxt ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada. Modelo:Sfn Cataldi representou unha fracción continua como

a_{0} \cdot & \frac{n_{1}}{d_{1} \cdot} & \frac{n_{2}}{d_{2} \cdot} & \frac{n_{3}}{d_{3}}

cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada Modelo:Math representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática. Modelo:Sfn Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral. Modelo:Sfn A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para Modelo:Math: Modelo:Sfn

\tan (x) = \frac{x}{1 + \frac{- x^{2}}{3 + \frac{- x^{2}}{5 + \frac{- x^{2}}{7 + ⋱}}}}

As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. ^[1] O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude Modelo:Math, contén unha cadea palindrómica de lonxitude Modelo:Math.

En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss. Modelo:Sfn Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

Notación

A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas:

x = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1}} \binom{}{+} \frac{a_{2}}{b_{2}} \binom{}{+} \frac{a_{3}}{b_{3}} \binom{}{+ \dots}

Carl Friedrich Gauss elaborou esta notación:

x = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}} .

Aquí a "Modelo:Math" significa Kettenbruch, a palabra alemá para "fracción continua".

Algunhas consideracións elementais

Numeradores e denominadores parciais

Se un dos numeradores parciais Modelo:Math é cero, a fracción continua infinita

b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}}

é realmente só unha fracción continua finita con Modelo:Math termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de Modelo:Math a Modelo:Math e Modelo:Math a Modelo:Math.

Fórmula do determinante

Cando o Modelo:Math-ésimo converxente dunha fracción continua

x_{n} = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{n}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}}

exprésase como unha fracción simple Modelo:Math podemos usar a fórmula do determinanteModelo:Bloque numeradopara relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos Modelo:Math e Modelo:Math entre sí. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

Transformación de equivalencia

Se Modelo:Math é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que

b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{b_{4} + ⋱}}}} = b_{0} + \frac{c_{1} a_{1}}{c_{1} b_{1} + \frac{c_{1} c_{2} a_{2}}{c_{2} b_{2} + \frac{c_{2} c_{3} a_{3}}{c_{3} b_{3} + \frac{c_{3} c_{4} a_{4}}{c_{4} b_{4} + ⋱}}}}

A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos Modelo:Math é cero pódese escoller unha secuencia Modelo:Math para que cada numerador parcial sexa 1:

b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}} = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{1}{c_{i} b_{i}}

onde Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, e en xeral Modelo:Math.

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais Modelo:Math é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia Modelo:Math para que cada denominador parcial sexa un 1:

b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}} = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{d_{i} a_{i}}{1}

onde Modelo:Math e tamén Modelo:Math.

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

Nocións de converxencia

A fracción continua

x = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}}

converxe se a secuencia de converxentes Modelo:Math} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a Modelo:Mvar , $K_{i = n}^{\infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}$ por Modelo:Math, en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse converxentes modificados. Dicimos que a fracción continua converxe xeralmente se existe unha secuencia ${w_{n}^{*}}$ tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os ${w_{n}}$ suficientemente distinto de ${w_{n}^{*}}$ . A secuencia ${w_{n}^{*}}$ chámase entón unha secuencia excepcional para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de Modelo:Harvtxt para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é absolutamente converxente cando a serie

f = \sum_{n} (f_{n} - f_{n - 1}),

onde $f_{n} = K_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}}$ son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente. Modelo:Sfn O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é uniformemente converxente nunha veciñanza aberta Modelo:Math cando os seus converxentes converxen uniformemente en Modelo:Math; é dicir, cando para cada Modelo:Math existe Modelo:Math tal que para todo Modelo:Math, para todos $z \in Ω$ ,

| f (z) - f_{n} (z) | < ε .

Condicións para a irracionalidade

Se Modelo:Math e Modelo:Math son enteiros positivos con Modelo:Math para todos os Modelo:Math suficientemente grandes, daquela

x = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_{i}}{b_{i}}

converxe a un límite irracional. Modelo:Sfn

Fórmulas fundamentais de recorrencia

Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as fórmulas fundamentais de recorrencia :

\begin{matrix} A_{- 1} & = 1 & B_{- 1} & = 0 \\ A_{0} & = b_{0} & B_{0} & = 1 \\ A_{n + 1} & = b_{n + 1} A_{n} + a_{n + 1} A_{n - 1} & B_{n + 1} & = b_{n + 1} B_{n} + a_{n + 1} B_{n - 1} \end{matrix}

Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo

x_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}} .

Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783). Modelo:Sfn Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

Fórmula de fracción continua de Euler

Euler demostrou a seguinte identidade: Modelo:Sfn

a_{0} + a_{0} a_{1} + a_{0} a_{1} a_{2} + \dots + a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{n} = \frac{a_{0}}{1 -} \frac{a_{1}}{1 + a_{1} -} \frac{a_{2}}{1 + a_{2} -} \dots \frac{a_{n}}{1 + a_{n}} .

Disto pódense derivar moitos outros resultados, como

\frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \dots + \frac{1}{u_{n}} = \frac{1}{u_{1} -} \frac{u_{1}^{2}}{u_{1} + u_{2} -} \frac{u_{2}^{2}}{u_{2} + u_{3} -} \dots \frac{u_{n - 1}^{2}}{u_{n - 1} + u_{n}},

e

\frac{1}{a_{0}} + \frac{x}{a_{0} a_{1}} + \frac{x^{2}}{a_{0} a_{1} a_{2}} + \dots + \frac{x^{n}}{a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{n}} = \frac{1}{a_{0} -} \frac{a_{0} x}{a_{1} + x -} \frac{a_{1} x}{a_{2} + x -} \dots \frac{a_{n - 1} x}{a_{n} + x} .

Exemplos

Funcións e números transcendentais

Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.

e^{x} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots = 1 + \frac{x}{1 - \frac{1 x}{2 + x - \frac{2 x}{3 + x - \frac{3 x}{4 + x - ⋱}}}}

\log (1 + x) = \frac{x^{1}}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots = \frac{x}{1 - 0 x + \frac{1^{2} x}{2 - 1 x + \frac{2^{2} x}{3 - 2 x + \frac{3^{2} x}{4 - 3 x + ⋱}}}}

Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:

\arctan \frac{x}{y} = \frac{x y}{1 y^{2} + \frac{(1 x y)^{2}}{3 y^{2} - 1 x^{2} + \frac{(3 x y)^{2}}{5 y^{2} - 3 x^{2} + \frac{(5 x y)^{2}}{7 y^{2} - 5 x^{2} + ⋱}}}} = \frac{x}{1 y + \frac{(1 x)^{2}}{3 y + \frac{(2 x)^{2}}{5 y + \frac{(3 x)^{2}}{7 y + ⋱}}}}

e^{\frac{x}{y}} = 1 + \frac{2 x}{2 y - x + \frac{x^{2}}{6 y + \frac{x^{2}}{10 y + \frac{x^{2}}{14 y + \frac{x^{2}}{18 y + ⋱}}}}} \Rightarrow e^{2} = 7 + \frac{2}{5 + \frac{1}{7 + \frac{1}{9 + \frac{1}{11 + ⋱}}}}

\log (1 + \frac{x}{y}) = \frac{x}{y + \frac{1 x}{2 + \frac{1 x}{3 y + \frac{2 x}{2 + \frac{2 x}{5 y + \frac{3 x}{2 + ⋱}}}}}} = \frac{2 x}{2 y + x - \frac{(1 x)^{2}}{3 (2 y + x) - \frac{(2 x)^{2}}{5 (2 y + x) - \frac{(3 x)^{2}}{7 (2 y + x) - ⋱}}}}

Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. ^[2]

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= Modelo:Math

\log 2 = \log (1 + 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{2}{2 + \frac{2}{5 + \frac{3}{2 + ⋱}}}}}} = \frac{2}{3 - \frac{1^{2}}{9 - \frac{2^{2}}{15 - \frac{3^{2}}{21 - ⋱}}}}

$π$

Fórmula de Leibniz para $π$ :

π = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{2 + \frac{3^{2}}{2 + \frac{5^{2}}{2 + ⋱}}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4 (- 1)^{n}}{2 n + 1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + - \dots

converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente Modelo:Math termos para conseguir Modelo:Math cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:

π = 3 + \frac{1^{2}}{6 + \frac{3^{2}}{6 + \frac{5^{2}}{6 + ⋱}}} = 3 - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n (n + 1) (2 n + 1)} = 3 + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 7} - + \dots

aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:

π = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{3 + \frac{2^{2}}{5 + \frac{3^{2}}{7 + ⋱}}}} = 4 - 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{34} + \frac{16}{3145} - \frac{4}{4551} + \frac{1}{6601} - \frac{1}{38341} + - \dots

converxe linearmente a $π$ , engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

Raíces dos números positivos

A [[Raíz (matemáticas)|raíz Modelo:Math-ésima]] de calquera número positivo Modelo:Math pódese expresar reformulando Modelo:Math, dando como resultado

\sqrt[n]{z^{m}} = \sqrt[n]{{(x^{n} + y)}^{m}} = x^{m} + \frac{m y}{n x^{n - m} + \frac{(n - m) y}{2 x^{m} + \frac{(n + m) y}{3 n x^{n - m} + \frac{(2 n - m) y}{2 x^{m} + \frac{(2 n + m) y}{5 n x^{n - m} + \frac{(3 n - m) y}{2 x^{m} + ⋱}}}}}}

que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a

\sqrt[n]{z^{m}} = x^{m} + \frac{2 x^{m} \cdot m y}{n (2 x^{n} + y) - m y - \frac{(1^{2} n^{2} - m^{2}) y^{2}}{3 n (2 x^{n} + y) - \frac{(2^{2} n^{2} - m^{2}) y^{2}}{5 n (2 x^{n} + y) - \frac{(3^{2} n^{2} - m^{2}) y^{2}}{7 n (2 x^{n} + y) - \frac{(4^{2} n^{2} - m^{2}) y^{2}}{9 n (2 x^{n} + y) - ⋱}}}}} .

A raíz cadrada de Modelo:Math é un caso especial con Modelo:Math e Modelo:Math:

\sqrt{z} = \sqrt{x^{2} + y} = x + \frac{y}{2 x + \frac{y}{2 x + \frac{3 y}{6 x + \frac{3 y}{2 x + ⋱}}}} = x + \frac{2 x \cdot y}{2 (2 x^{2} + y) - y - \frac{1 \cdot 3 y^{2}}{6 (2 x^{2} + y) - \frac{3 \cdot 5 y^{2}}{10 (2 x^{2} + y) - ⋱}}}

que se pode simplificar observando que Modelo:Math:

\sqrt{z} = \sqrt{x^{2} + y} = x + \frac{y}{2 x + \frac{y}{2 x + \frac{y}{2 x + \frac{y}{2 x + ⋱}}}} = x + \frac{2 x \cdot y}{2 (2 x^{2} + y) - y - \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + y) - \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + y) - ⋱}}} .

A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados Modelo:Math e Modelo:Math.

Exemplo 1

A raíz cúbica de dous (2 ^1/3 ou 3 Modelo:Sqrt ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math:

\sqrt[3]{2} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{2}{2 + \frac{4}{9 + \frac{5}{2 + \frac{7}{15 + \frac{8}{2 + \frac{10}{21 + \frac{}{}}}}}}}} = 1 + \frac{2 \cdot 1}{9 - 1 - \frac{2 \cdot 4}{27 - \frac{5 \cdot 7}{45 - \frac{8 \cdot 10}{63 - \frac{11 \cdot 13}{81 - ⋱}}}}} .

En segundo lugar, unha converxencia rápida con Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math:

\sqrt[3]{2} = \frac{5}{4} + \frac{0.5}{50 + \frac{2}{5 + \frac{4}{150 + \frac{5}{5 + \frac{7}{250 + \frac{8}{5 + \frac{10}{350 + \frac{}{}}}}}}}} = \frac{5}{4} + \frac{2.5 \cdot 1}{253 - 1 - \frac{2 \cdot 4}{759 - \frac{5 \cdot 7}{1265 - \frac{8 \cdot 10}{1771 - ⋱}}}} .

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Outros artigos

Bibliografía

Modelo:Refbegin

Modelo:Cita xornal

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita xornal

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita web

Modelo:Cita web

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro (Covers both analytic theory and history.)

Modelo:Cita libro (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita web

Modelo:Cita libro

Modelo:Cita web

Modelo:Cita xornal

Modelo:Cita xornal

Modelo:Cita libro (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

Modelo:Cita libro

Modelo:Refend

Ligazóns externas

The first twenty pages of Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, Modelo:ISBN, contains generalized continued fractions for Modelo:Sqrt and the golden mean.
Modelo:OEIS "Exact" continued fraction for Pi}}

Modelo:Control de autoridades

↑ Brahmagupta (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation.
↑ An alternative way to calculate log(x)

[1] Brahmagupta (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation.

[2] An alternative way to calculate log(x)

[1]

[2]

Fracción continua xeneralizada

Índice

Historia

Notación

Algunhas consideracións elementais

Numeradores e denominadores parciais

Fórmula do determinante

Transformación de equivalencia

Nocións de converxencia

Condicións para a irracionalidade

Fórmulas fundamentais de recorrencia

Fórmula de fracción continua de Euler

Exemplos

Funcións e números transcendentais

$π$

Raíces dos números positivos

Exemplo 1

Notas

Véxase tamén

Outros artigos

Bibliografía

Ligazóns externas

Menú de navegación

Fracción continua xeneralizada

Historia

Notación

Algunhas consideracións elementais

Numeradores e denominadores parciais

Fórmula do determinante

Transformación de equivalencia

Nocións de converxencia

Condicións para a irracionalidade

Fórmulas fundamentais de recorrencia

Fórmula de fracción continua de Euler

Exemplos

Funcións e números transcendentais

π

Raíces dos números positivos

Exemplo 1

Notas

Véxase tamén

Outros artigos

Bibliografía

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura

$π$