Matriz antisimétrica

En matemáticas, e máis precisamente en álxebra linear, unha matriz antisimétrica é unha matriz cadrada oposta á súa transposta. (Skew-symmetric matrix en inglés).

Definición

Dise que unha matriz cadrada A con coeficientes en calquera anel é antisimétrica se a súa transposta é igual á súa oposta, é dicir, se cumpre a ecuación:

A Modelo:Sup = – A

ou tamén, escribindoo con coeficientes da forma A = (a_i,j), se:

para todo i e j, a_j,i = – a_i,j.

Exemplos

As seguintes matrices son antisimétricas :

(\begin{matrix} 0 & 2 \\ - 2 & 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 2 & - 3 & 0 \end{matrix}) .

Ao longo de todo este artigo, asumimos que todas as entradas da matriz pertencen a un corpo $𝔽$ cuxa característica é distinta de 2. É dicir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0, onde 1 denota a identidade multiplicativa e 0 a identidade aditiva do corpo dado. Se a característica do corpo é 2, entón unha matriz antisimétrica é o mesmo que unha matriz simétrica.

Propiedades

Caracterizacións

A suma de dúas matrices antisimétricas é antisimétrica.
Un múltiplo escalar dunha matriz de antisimétrica é antisimétrica.
Os elementos da diagonal dunha matriz antisimétrica son cero e, polo tanto, a súa traza é igual a cero.
Se $A$ é unha matriz antisimétrica real e $λ$ é un valor propio real, entón $λ = 0$ , é dicir, os valores propios distintos de cero dunha matriz antisimétrica non son reais.
Se $A$ é unha matriz antisimétrica real, entón $I + A$ é invertíbel, onde $I$ é a matriz de identidade.
Se $A$ é unha matriz antisimétrica, entón $A^{2}$ é unha matriz simétrica negativa semidefinida.

Espazos de matrices antisimétricas

O espazo das matrices simétricas e o das matrices antisimétricas son suplementarios no espazo das matrices cadradas. De feito, calquera matriz cadrada descompónse de forma única do seguinte xeito:

A = \frac{A + A^{𝖳}}{2} + \frac{A - A^{𝖳}}{2} .

Cando o corpo de coeficientes é o dos reais, estes dous espazos son ortogonais se dotamos ao espazo de matrices cadradas do produto escalar, unha de cuxas expresións é precisamente : Modelo:Pad

(A, B) \mapsto T r (A^{𝖳} B) .

As matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman un espazo vectorial de dimensión n(n-1)/2. A base canónica é a familia ${(A_{i j})}_{1 \leq i < j \leq n}$ de matrices $A_{i j}$ que teñen 1 na fila i e na columna j e –1 na fila j e na columna i.
No caso real, este espazo vectorial é o espazo tanxente ao grupo ortogonal O(n).

Diagonalización e descomposicións

Calquera matriz antisimétrica real é diagonalizábel no corpo dos complexos e os seus valores propios son puros imaxinarios. De feito, se A é antisimétrica real, Modelo:MathA é hermitiana, é dicir, autoadxunta.

De feito, as matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman unha álxebra de Lie usando o corchete de Lie Modelo:Pade é a álxebra de Lie asociada ao grupo de Lie O(n).

Unha matriz G é ortogonal e ten un determinante igual a 1, é dicir, é un elemento da compoñente conexa do grupo ortogonal onde se sitúa a matriz unidade, se e só se existe unha matriz antisimétrica A tal que : Modelo:Pad

(ver o artigo " Matriz exponencial ").