Traza (álxebra linear)

En álxebra linear, a traza dunha matriz cadrada Modelo:Math, denotada como Modelo:Math, defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de Modelo:Math. A traza só se define para unha matriz cadrada (Modelo:Math).

A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi).

Definición

A traza dunha matriz cadrada Modelo:Math, Modelo:Math, defínese como Modelo:Rp</ref>Modelo:Rp$$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$$ onde Modelo:Math denota a entrada na fila Modelo:Mvar e na columna Modelo:Mvar de Modelo:Math. As entradas de Modelo:Math poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo Modelo:Mvar. A traza non está definida para matrices non cadradas.

Exemplo

Sexa Modelo:Math unha matriz, con $$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 11& 5& 2\\ 6& 12& -5\end{array}\right)$$

Logo $$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^3{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$$

Propiedades

Propiedades básicas

A traza é un aplicación linear. É dicir, $$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(𝐀+𝐁)& =\mathrm{tr}(𝐀)+\mathrm{tr}(𝐁)\\ \mathrm{tr}(c𝐀)& =c\mathrm{tr}(𝐀)\end{array}$$ para todas as matrices cadradas Modelo:Math e Modelo:Math, e todos os escalares Modelo:Mvar . Modelo:Rp

Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza: Modelo:Rp$$\mathrm{tr}(𝐀)=\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}\right).$$

Traza dun produto

A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se Modelo:Math e Modelo:Math son dúas matrices Modelo:Math, daquela: $$\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}𝐁\right)=\mathrm{tr}\left(𝐀{𝐁}^{𝖳}\right)=\mathrm{tr}\left({𝐁}^{𝖳}𝐀\right)=\mathrm{tr}\left(𝐁{𝐀}^{𝖳}\right)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}.$$

Propiedade cíclica

De forma máis xeral, a traza é invariante baixo desprazamentos circulares, é dicir,

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁𝐂𝐃)=\mathrm{tr}(𝐁𝐂𝐃𝐀)=\mathrm{tr}(𝐂𝐃𝐀𝐁)=\mathrm{tr}(𝐃𝐀𝐁𝐂).$

Isto coñécese como a propiedade cíclica.

Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral, $$\mathrm{tr}(𝐀𝐁𝐂)\ne \mathrm{tr}(𝐀𝐂𝐁).$$

Traza dun produto Kronecker

A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas: $$\mathrm{tr}(𝐀\otimes 𝐁)=\mathrm{tr}(𝐀)\mathrm{tr}(𝐁).$$

Traza como suma de valores propios

Dado calquera matriz Modelo:Math, Modelo:Math, temos

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$

onde Modelo:Math son os eigenvalores de Modelo:Math contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que Modelo:Math sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cite book

• Modelo:Cite book

• Modelo:Cite book

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades