Produto escalar

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece un novo vector, non só un número.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

Definición

Produto escalar de dous vectores

Dados dous vectores $\overrightarrow{A}$ e $\overrightarrow{B}$. o produto escalar pode ser calculado como:

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|A||B|cos\theta$

Onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $\overrightarrow{A}$ e $\overrightarrow{B}$, e $|A|$ e $|B|$ son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto $|A|cos\theta$ representa a proxección do vector $\overrightarrow{A}$ na dirección do vector $\overrightarrow{B}$ . Se $\overrightarrow{A}$ fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza $\overrightarrow{A}$ se estaría a aplicar na dirección de $\overrightarrow{B}$.

Se o ángulo entre os vectores fose 90º ($\overrightarrow{A}$ e $\overrightarrow{B}$ perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

$\overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z)$

$\overrightarrow{B}=(B_x,B_y,B_z)$

O produto escalar pode escribirse como:

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

$|A|=\sqrt{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A}}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A}=|A||A|cos{0}^o=|A{|}^2$

Exemplo de cálculo

O produto escalar dos dous vectores

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$  e  $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 9\end{array}\right)$

calcúlase como

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36$.

Definición xeral

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V⟶𝕂$ onde V é un espazo vectorial e $𝕂$ é o corpo sobre o que está definido V. $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ debe satisfacer as seguintes condicións:

1. Linearidade pola esquerda: $⟨ax+by,z⟩=a⟨x,z⟩+b⟨y,z⟩$, e linearidade conxugada pola dereita: $⟨x,ay+bz⟩=\bar{a}⟨x,y⟩+\bar{b}⟨x,z⟩$
2. Hermiticidade: $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$,
3. Definida positiva: $⟨x,x⟩\ge 0$, y $⟨x,x⟩=0$ se e só se x = 0,

onde $x,y,z\in V$ son vectores de V, $a,b\in 𝕂$ representan escalares do corpo $𝕂$ e $\bar{c}$ é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., $ℝ$), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por $(\cdot |\cdot )$ ou por $\bullet$.

Un espazo vectorial sobre o corpo $ℝ$ ou $ℂ$ dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclidiano.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira: Modelo:Ecuación

Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclidiano real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A en B.

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclidiano defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo $\theta$ que forman.

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é $𝐮\cdot 𝐯$

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

Proxección dun vector sobre outro

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy A_B, será Modelo:Ecuación

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulos entre dous vectores

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

Vectores ortogonais

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

xa que o $\cos \frac{\pi }{2}=0$.

Vectores paralelos ou nunha mesma dirección

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

Observación

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, ${ℝ}^4$ dotado do produto escalar:

$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$.

Exemplo de cálculo do ángulo entre dous vectores

Os vectores

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$  e  $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 9\end{array}\right)$

teñen a lonxitude

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\approx 3,74$ e $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-7{)}^2+8^2+9^2}=\sqrt{194}\approx 13,93.$

O coseno do ángulo comprendido entre os dous vectores calcúlase como:

$\cos \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}}\approx 0,691.$

Así temos, $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\arccos \left(\frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}}\right)\approx 46,3^{\circ }.$

Propiedades do produto escalar

1. Conmutativa: Modelo:Ecuación

2. Distributiva respecto á suma vectorial: Modelo:Ecuación

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m: Modelo:Ecuación

4. Obsérvese que en xeral Modelo:Ecuación

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa Modelo:Ecuación

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Expresión analítica do produto escalar

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en ${ℝ}^3$ formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos: Modelo:Ecuación Modelo:Ecuación

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Norma ou Módulo dun vector

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo.

Efectuado o produto escalar, temos:

de modo que

Por compoñentes, tomando a base canónica en ${ℝ}^3$ formada polos vectores unitarios {i, j, k}

de modo que

Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais

• No espazo vectorial ${ℝ}^n$ adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:

$𝐀\cdot 𝐁=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\cdot (b_1,b_2,b_3,...,b_n)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...a_n{b}_n=\sum a_i\cdot b_i$

• No espazo vectorial ${ℂ}^n$ adóitase definir o produto interior por:

$𝐀\cdot 𝐁=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\cdot (b_1,b_2,b_3,...,b_n)=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+...a_n\cdot \overline{b_n}=\sum a_i\cdot \overline{b_i}$

Sendo $\overline{b_n}$ o número complexo conxugado de ${𝐛}_{𝐧}$

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

$𝐀\cdot 𝐁=\mathrm{tr}(A^T\cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^T$ é a matriz trasposta de A.

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

$𝐀\cdot 𝐁=\mathrm{tr}(A^{*}\cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^{*}$ é a matriz trasposta conxugada de A.

• No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b:

$𝐟\cdot 𝐠=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x$

• No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:

Dado $[x_1,x_2,x_3,...,x_n,x_{n+1}]\subseteq ℝ$ tal que $x_1<x_2<x_3<...<x_n<x_n+1$ :

$𝐩\cdot 𝐪=p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1)=\sum p(x_i)\cdot q(x_i)$

Xeneralizacións

Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica $B(\cdot ,\cdot )$ definida sobre un espazo vectorial $V={ℝ}^n$ pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula: Modelo:Ecuación Onde:

$B_{ij}:=B({𝐞}_i,{𝐞}_j)$

$\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ é unha base do espazo vectorial $V$

Pode comprobarse que a operación anterior $(\cdot ,\cdot {)}_B:V\times V\to ℝ$ satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

Tensores métricos

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico $g:ℳ\times Tℳ\times Tℳ\to ℝ$, tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear $g_x(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )$.

Así, dados dous vectores campos vectoriais $𝐮$ e $𝐯$ do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como: Modelo:Ecuación A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente $𝐓$ do seguinte xeito: Modelo:Ecuación

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Produto escalar de vectores con Excel Modelo:Es