Conxunto conexo

Un conxunto conexo é un subconxunto $C\subseteq X$ dun espazo topolóxico $(X,𝒯)$ é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.

Formalmente, $C\subseteq X$ é un conxunto conexo se e só se: $A,B\in 𝒯,A\cap B\cap C=\mathrm{\varnothing },C\subseteq A\cup B$ implica $C\subseteq A\vee C\subseteq B$

Cómpre notar que se $C=X$, entón terase que $X$ é conexo se e só se $A,B\in 𝒯,A\cap B=\mathrm{\varnothing },A\cup B=X$ implica $A=X\vee B=X$. Neste caso, $(X,𝒯)$ chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que $C\subseteq X$ é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

Exemplos

O espazo A é conexo.
O espazo B non o é.

Conxuntos conexos

• As esferas $S^n,n\ge 1,$ son conexas.
• Un punto ${ℝ}^n$ é conexo.
• Un nó é un conxunto conexo en $S^3$
• Un toro é un conxunto conexo en ${ℝ}^3$
• En $ℝ$, un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
• O complementario dun punto en ${ℝ}^n,n\ge 2,$ é conexo.

Subconxunto conexo na recta

Sexa $ℝ$ provisto da topoloxía usual $T_u$, ademais $J$ un intervalo de $ℝ,M$ e $N$ subconxuntos abertos de $ℝ$ tales que $J$ é parte da unión de $M$ e $N,J\cap M\cap N=\mathrm{\varnothing }$. Entón $J\cap M=\mathrm{\varnothing }\vee J\cap N=\mathrm{\varnothing }$. Neste caso $J$ é un subconxunto conexo da recta real.

• Un subconxunto $H$ da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto $K=\{\frac{1}{n},\mathbf{\text{para}}n\mathbf{\text{entero}}\mathbf{\text{positivo}}\}$

Conxuntos non conexos

• O complementario dun punto en $ℝ$
• O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en ${ℝ}^n$
• Un enlace de $n$ compoñentes (nós), $n\ge 2$

Propiedades dos conxuntos conexos

Cúmprese que se $(X,𝒯)$ é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: $C\subseteq X$ é un conxunto conexo se e só se para toda función $f:C\to \{0,1\}$ continua se cumpre que $f$ é unha función constante, onde se dota a $\{0,1\}$ da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se $(X_i,{𝒯}_i{)}_{i\in I}$ é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con $I$ un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón $(\prod _{i\in I}{X}_i,𝒯)$ tamén é conexo, onde $𝒯$ é a topoloxía produto.

Por último, se $X$ non é conexo, é dicir, se existen abertos $U,V$, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é $X$, é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, $X$ será conexo se e só se os únicos clopen son $X$ e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen).

Conexidade por camiños

Dise que un conxunto $X$ é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados $x_1,x_2\in X$ existe un camiño continuo $\alpha :[0,1]\to X$ tal que $\alpha (0)=x_1$ e $\alpha (1)=x_2$.

Peite do topólogo

A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, $X=A\cup B$, onde $A=\{(0,1)\}$ e $B=((0,1]\times \{0\})\cup (\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\times [0,1])$. $X$ é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

Compoñentes conexas

Dado un espazo topolóxico $(X,𝒯)$ chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto $Y\subset X$ é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:

1. $Y\subset X$ é conexo.
2. Calquera conxunto $Z$ que contén propiamente $Y$ non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de $X$ forman unha partición de $X$. Se $X$ é conexo, tense que $X$ é a súa única compoñente conexa.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica.