Integración por partes

En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, a integración por partes é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.

A fórmula de integración por partes di:

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx& =[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx\\ & =u(b)v(b)-u(a)v(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx.\end{array}$

Ou, sendo $u=u(x)$ e $du=u^{\prime }(x)dx$ mentres que $v=v(x)$ e $dv=v^{\prime }(x)dx,$ a fórmula pódese escribir de forma máis compacta:

$\int udv=uv-\int vdu.$

A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida.

O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715. Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes.

Teorema

Produto de dúas funcións

O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis $u(x)$ e $v(x)$, a regra do produto estabelece:

$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x).$

Integrando ámbolos dous lados con respecto a $x$,

$\int (u(x)v(x){)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx,$

e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá

$u(x)v(x)=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx,$

onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da integración por partes:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx,$

ou en termos de diferenciais $du=u^{\prime }(x)dx$, $dv=v^{\prime }(x)dx,$

$\int u(x)dv=u(x)v(x)-\int v(x)du.$

Aplicacións

Calcular antiderivadas

A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións u(x) v(x) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida.

Como exemplo sinxelo, consideremos:

$\int \frac{\ln (x)}{x^2}dx.$

Xa que a derivada de ln(x) éModelo:Sfrac, tomamos (ln(x)) como parte u; xa que a antiderivada de Modelo:Sfrac é −Modelo:Sfrac tomamos Modelo:Sfrac como part Modelo:Mvar. A fórmula agora dá:

$\int \frac{\ln (x)}{x^2}dx=-\frac{\ln (x)}{x}-\int \left(\frac{1}{x}\right)(-\frac{1}{x})dx=-\frac{\ln (x)}{x}-\frac{1}{x}+C.$

A antiderivada de −Modelo:Sfrac atópase coa regra da potencia.

Alternativamente, pódese escoller u e v de tal forma que o produto u ′ (∫v dx) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar:

$\int {\sec }^2(x)\cdot \ln \left(\right|\sin (x)\left|\right)dx.$

Se escollemos u(x) = ln(|sin( x )|) e v (x) = sec²x, entón u diferénciase como $\frac{1}{\tan x}$ usando a regra da cadea e v intégrase como tan x; polo que a fórmula dá:

$\int {\sec }^2(x)\cdot \ln \left(\right|\sin (x)\left|\right)dx=\tan (x)\cdot \ln \left(\right|\sin (x)\left|\right)-\int \tan (x)\cdot \frac{1}{\tan (x)}dx=\tan (x)\cdot \ln \left(\right|\sin (x)\left|\right)-x+C.$

Polinomios e funcións trigonométricas

Para calcular

$I=\int x\cos (x)dx,$

facemos:

$\begin{array}{cccccc}u& =x& \Rightarrow & & du& =dx\\ dv& =\cos (x)dx& \Rightarrow & & v& =\int \cos (x)dx=\sin (x)\end{array}$

daquela:

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x)dx& =\int udv\\ & =u\cdot v-\int vdu\\ & =x\sin (x)-\int \sin (x)dx\\ & =x\sin (x)+\cos (x)+C,\end{array}$

onde C, coma sempre é unha constante de integración.

Funcións exponenciais e trigonométricas

Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é

$I=\int e^x\cos (x)dx.$

Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos

$\begin{array}{cccccc}u& =\cos (x)& \Rightarrow & & du& =-\sin (x)dx\\ dv& =e^{x}dx& \Rightarrow & & v& =\int e^{x}dx=e^x\end{array}$

daquela:

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+\int e^x\sin (x)dx.$

Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con:

$\begin{array}{cccccc}u& =\sin (x)& \Rightarrow & & du& =\cos (x)dx\\ dv& =e^{x}dx& \Rightarrow & & v& =\int e^{x}dx=e^x.\end{array}$

Entón:

$\int e^x\sin (x)dx=e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx.$

Xuntando as dúas,

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx.$

A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter

$2\int e^x\cos (x)dx=e^x[\sin (x)+\cos (x)]+C,$

que reordenamos como

$\int e^x\cos (x)dx=\frac{1}{2}{e}^x[\sin (x)+\cos (x)]+C^{\prime }$

onde outra vez $C$ (e $C^{\prime }=\frac{C}{2}$ ) é unha constante de integración.

Funcións multiplicadas pola unidade

Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por $x$.

O primeiro exemplo é $\int \ln (x)dx$ . Escribimos isto como:

$I=\int \ln (x)\cdot 1dx.$

Sexa:

$u=\ln (x)\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$

$dv=dx\Rightarrow v=x$

logo:

$\begin{array}{cc}\int \ln (x)dx& =x\ln (x)-\int \frac{x}{x}dx\\ & =x\ln (x)-\int 1dx\\ & =x\ln (x)-x+C\end{array}$

O segundo exemplo é a función inversa da tanxente $\arctan (x)$ :

$I=\int \arctan (x)dx.$

Reescribe isto como

$\int \arctan (x)\cdot 1dx.$

Agora temos:

$u=\arctan (x)\Rightarrow du=\frac{dx}{1+x^2}$

$dv=dx\Rightarrow v=x$

entón

$\begin{array}{cc}\int \arctan (x)dx& =x\arctan (x)-\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ & =x\arctan (x)-\frac{\ln (1+x^2)}{2}+C\end{array}$

utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.

regra LÍATE

A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como u a función que aparece primeiro na seguinte lista:

• L - funcións logarítmicas : $\ln (x),{\log }_b(x),$ etc.
• I – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas): $\arctan (x),\mathrm{arcsec}(x),\mathrm{arsinh}(x),$ etc.
• A – funcións alxébricas (como polinomios): $x^2,3x^{50},$ etc.
• T - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ): $\sin (x),\tan (x),\mathrm{sech}(x),$ etc.
• E - funcións exponenciais : $e^x,19^x,$ etc.

A función que debe ser dv é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde D significa dv e a parte superior da lista é a función escollida para ser dv.

Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral

$\int x\cdot \cos (x)dx.$

Seguindo a regra LÍATE, u = x, e dv = cos(x) dx, polo tanto du = dx, e v = sin(x), o que fai que a integral se converta en

$x\cdot \sin (x)-\int 1\sin (x)dx,$ que é igual a

$x\cdot \sin (x)+\cos (x)+C.$

Identidade da función gamma

A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para $z>0$. A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{z-1}dx\\ & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}d\left(e^{-x}\right)\\ & =-[e^{-x}{x}^{z-1}{]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\ & =0+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(z-1)x^{z-2}{e}^{-x}dx\\ & =(z-1)\mathrm{\Gamma }(z-1).\end{array}$

Posto que

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}dx=1,$

cando $z$ é un número natural, é dicir, $z=n\in \mathbb{N}$, aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

Uso na análise harmónica

A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.

Transformada de Fourier da derivada

Se $f$ é unha $k$-veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata $k$ decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai

$(ℱf^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi {)}^kℱf(\xi ),$

onde $f^{(k)}$ é a $k$-ésima derivada de $f$. (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada.) Isto móstrase observando que

$\frac{d}{dy}{e}^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },$

polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos

$\begin{array}{cc}(ℱf^{\prime })(\xi )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\pi iy\xi }{f}^{\prime }(y)dy\\ & ={[e^{-2\pi iy\xi }f(y)]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)dy\\ & =2\pi i\xi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\pi iy\xi }f(y)dy\\ & =2\pi i\xi ℱf(\xi ).\end{array}$

Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un $k$ en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.

Decadencia da transformada de Fourier

O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se $f$ e $f^{(k)}$ son integrábeis entón

$|ℱf(\xi )|\le \frac{I(f)}{1+|2\pi \xi {|}^k},\text{ onde }I(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(|f(y)|+|f^{(k)}(y)|)dy.$

Noutras palabras, se $f$ satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como Modelo:Nowrap. En particular, se $k\ge 2$ entón a transformada de Fourier é integrábel.

A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier, de que

$|ℱf(\xi )|\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(y)|dy.$

Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse

$|(2\pi i\xi {)}^kℱf(\xi )|\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f^{(k)}(y)|dy.$

Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre Modelo:Nowrap dá a desigualdade declarada.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Integral de Lebesgue–Stieltjes
• Integración por cambio de variábel

Ligazóns externas

• Calculadora de integração por partes.

Modelo:Control de autoridades