Integral impropia

Unha integral de Riemann impropia do primeiro tipo, onde a rexión do plano implicada pola integral ten unha extensión infinita horizontalmente. A área desta rexión, que representa a integral, pode ser finita (como aquí) ou infinita.

Unha integral de Riemann impropia do segundo tipo, onde a rexión implícita é infinita verticalmente. A rexión pode ter área finita (como aquí) ou infinita.

Na análise matemática, unha integral impropia é unha extensión da noción de integral definida aos casos que violan os supostos habituais para ese tipo de integral. No contexto das integrais de Riemann (ou, equivalentemente, das integrais de Darboux), isto normalmente implica que non existe límite, ben do conxunto sobre o que se toma a integral ou do integrando (a función que se está integrando), ou de ambos os dous. Tamén pode implicar conxuntos limitados mais non pechados ou funcións limitadas mais non continuas. Aínda que unha integral impropia adoita escribirse simbolicamente igual que unha integral definida estándar, en realidade representa un límite dunha integral definida ou unha suma deses límites; así dise que as integrais impropias converxen ou diverxen. Se unha integral definida regular (que retronímicamente se pode chamar integral propia) se elabora como se fose impropia, darase a mesma resposta.

No caso máis sinxelo dunha función con valores reais dunha única variábel integrada no sentido de Riemann (ou Darboux) nun único intervalo, as integrais impropias poden ter calquera das seguintes formas:

1. $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$
2. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
3. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$
4. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, onde $f(x)$ non está definida ou é descontinua nalgún lugar de $[a,b]$

As tres primeiras formas son impropias porque as integrais son tomadas nun intervalo ilimitado. (Tamén poden ser impropias por outras razóns, como se explica a continuación.) Tal integral descríbese ás veces como do "primeiro" tipo se o integrando satisfai doutro xeito os supostos de integración. As integrais da cuarta forma que son impropias porque $f(x)$ ten unha asíntota vertical nalgún lugar do intervalo $[a,b]$ pódese describir como do "segundo" tipo. As integrais que combinan aspectos de ambos os tipos son ás veces descritas como do "terceiro" tipo.

En cada caso anterior, a integral impropia debe reescribirse utilizando un ou máis límites, dependendo do que está a provocar que a integral sexa impropia. Por exemplo, no caso 1, se $f(x)$ é continua en todo o intervalo $[a,\mathrm{\infty })$, entón

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

O límite da dereita é a definición da notación integral da esquerda.

Se $f(x)$ só é continua en $(a,\mathrm{\infty })$ e non en $a$, entón normalmente se reescribe como

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

para calquera escolla de $c>a$. Aquí ambos os límites deben converxer a un valor finito para que se diga que converxe a integral impropia. Este requisito evita o caso ambiguo de engadir infinitos positivos e negativos (é dicir, a forma indeterminada "$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$". Como alternativa, pódese usar un límite iterado ou un único límite baseado no valor principal de Cauchy.

Se $f(x)$ é continua en $[a,d)$ e $(d,\mathrm{\infty })$, cunha descontinuidade de calquera tipo en $d$, daquela

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to d^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx+\underset{u\to d^{+}}{\lim }\underset{u}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

para calquera escolla de $c>d$. As observacións anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados e o valor principal de Cauchy tamén se aplican aquí.

A función $f(x)$ pode ter máis descontinuidades, nese caso aínda serían necesarios máis límites (ou unha expresión de valor principal máis complicada).

Os casos 2-4 trátanse de xeito similar. Vexa os exemplos a continuación.

As integrais impropias tamén se poden avaliar no contexto de números complexos, en dimensións máis altas, e noutros marcos teóricos como a integración de Lebesgue ou a integración de Henstock-Kurzweil. As integrais que se consideran impropias nun marco poden non estar noutros.

Exemplos

A definición orixinal da integral de Riemann non se aplica a unha función como $1/x^2$ no intervalo $\mathbf{\text{<mo stretchy="false">[</mo>}}1,\mathrm{\infty })$, porque neste caso o dominio de integración é non limitado. No entanto, a integral de Riemann pódese estender a miúdo mediante continuidade, definindo a integral impropia no seu lugar como un límite

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2}=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x^2}=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1.$

A definición estreita da integral de Riemann tampouco cobre a función $1/\sqrt{x}$ no intervalo $\mathbf{\text{<mo stretchy="false">[</mo>}}0,1\mathbf{\text{<mo stretchy="false">]</mo>}}$. O problema aquí é que o integrando non ten límite no dominio da integración. Noutras palabras, a definición da integral de Riemann require que tanto o dominio de integración como o integrando estean limitados. No entanto, a integral impropia existe se se entende como o límite

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }(2-2\sqrt{a})=2.$

A integral impropia
$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}=\pi$
ten intervalos ilimitados tanto para o dominio como para o intervalo.

Ás veces as integrais poden ter dúas singularidades onde son impropias. Considere, por exemplo, a función Modelo:Math integrada de 0 a Modelo:Math (mostrada á dereita). No límite inferior do dominio de integración, cando Modelo:Mvar tende a 0, a función tende a Modelo:Math, e o límite superior é en si mesmo Modelo:Math, aínda que a función tende a 0. Así, esta é unha integral dobremente impropia. Integrada, por exemplo, de 1 a 3, unha suma de Riemann ordinaria abonda para producir un resultado de Modelo:Pi/6. Para integrar de 1 a Modelo:Math, non é posíbel unha suma de Riemann. No entanto, calquera límite superior finito, digamos Modelo:Mvar (con Modelo:Math), dá un resultado ben definido, Modelo:Math. Este ten un límite finito xa que Modelo:Mvar vai cara a infinito, é dicir, Modelo:Pi/2. Do mesmo xeito, a integral de 1/3 a 1 tamén permite unha suma de Riemann, que casualmente volve producir Modelo:Pi/6. Substituír 1/3 por un valor positivo arbitrario Modelo:Mvar (con Modelo:Math) é igualmente seguro, dando Modelo:Math. Isto tamén ten un límite finito xa que Modelo:Mvar vai cara a cero, é dicir, Modelo:Pi/2. Combinando os límites dos dous fragmentos, o resultado desta integral impropia é

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}& =\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\underset{s}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}+\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}\\ & =\underset{s\to 0^{+}}{\lim }(\frac{\pi }{2}-2\arctan \sqrt{s})+\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2\arctan \sqrt{t}-\frac{\pi }{2})\\ & =\frac{\pi }{2}+(\pi -\frac{\pi }{2})\\ & =\pi .\end{array}$

Este proceso non garante o éxito; un límite pode non existir, ou pode ser infinito. Por exemplo, sobre o intervalo limitado de 0 a 1 a integral de Modelo:Math non converxe; e sobre o intervalo ilimitado de 1 a Modelo:Math a integral de Modelo:Math non converxe.

A integral impropia
$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}=6$
converxe, xa que existen límites pola esquerda e pola dereita, aínda que o integrando non está limitado preto dun punto interior.

Tamén pode ocorrer que un integrando estea ilimitado preto dun punto interior, nese caso a integral debe dividirse nese punto. Para que a integral converxa, as integrais límite de ambos os dous lados deben existir e deben estar limitadas. Por exemplo:

$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}& =\underset{s\to 0^{-}}{\lim }\underset{-1}{\overset{s}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}\\ & =\underset{s\to 0^{-}}{\lim }3(1-\sqrt[3]{s})+\underset{t\to 0^{+}}{\lim }3(1-\sqrt[3]{t})\\ & =3+3\\ & =6.\end{array}$

Mais para a integral semellante

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}$

non se pode asignar un valor deste xeito, xa que as integrais superiores e inferiores a cero no dominio integral non converxen de forma independente. (Con todo, consulte Valor principal de Cauchy.)

Converxencia da integral

Unha integral impropia converxe se existe o límite que a define. Así por exemplo dise que a integral impropia

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$

existe e é igual a L se as integrais baixo o límite existen para todas as t suficientemente grandes e o valor do límite é igual a L.

Tamén é posíbel que unha integral impropia diverxa ata o infinito. Nese caso, pódese asignar á integral o valor de $\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$). Por exemplo

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x}=\mathrm{\infty }.$

No entanto, outras integrais impropias poden simplemente diverxer sen unha dirección en particular, como

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}x\sin (x)dx,$

que non existe, mesmo como número real estendido. Isto chámase diverxencia por oscilación.

Unha limitación da técnica de integración impropia é que o límite debe tomarse en relación a un punto final de cada vez. Así, por exemplo, unha integral impropia da forma

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

pódese definir tomando dous límites separados; dando

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

sempre que o dobre límite sexa finito. Tamén se pode definir como un par de integrais impropias distintas do primeiro tipo:

$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

onde c é calquera punto conveniente no que comezar a integración. Esta definición tamén se aplica cando unha destas integrais é infinita, ou ambas as dúas se teñen o mesmo signo.

Un exemplo de integral impropia onde os dous extremos son infinitos é a integral de Gauss Modelo:Nowrap

Un exemplo que se avalía ata o infinito é Modelo:Nowrap

Mais non sempre se poden definir sen ambigüidades outras integrais deste tipo, como por exemplo Modelo:Nowrap posto que o duplo límte é infinito e o método de dúas integrais

$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}xdx+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}xdx$

produce unha forma indeterminada, Modelo:Nowrap Neste caso, pódese definir unha integral impropia no sentido do valor principal de Cauchy:

$\mathrm{p.v.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-b}{\overset{b}{\int }}xdx=0.$

As preguntas que se deben abordar para determinar unha integral impropia son:

• Existe o límite?
• Pódese calcular o límite?

A primeira pregunta é unha cuestión de análise matemática. A segunda pódese abordar mediante técnicas de cálculo, mais tamén nalgúns casos mediante integración de contorno, transformadas de Fourier e outros métodos máis avanzados.

Tipos de integrais

Hai máis dunha teoría da integración. Desde o punto de vista do cálculo, a teoría da integral de Riemann adoita asumirse como a teoría predeterminada. Ao usar integrais impropias, pode importar cal é a teoría da integración en xogo.

• Para a integral de Riemann (ou a integral de Darboux, que é equivalente a ela), é necesaria unha integración impropia en "ambos" os intervalos ilimitados.
• A integral de Lebesgue trata de forma diferente os dominios ilimitados e as funcións ilimitadas, polo que moitas veces unha integral que só existe como integral de Riemann impropia existirá como unha integral de Lebesgue (propia), como por exemplo ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^2}$. Por outra banda, tamén hai integrais que teñen unha integral de Riemann impropia pero que non teñen unha integral de Lebesgue (propia), como ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx$. A teoría de Lebesgue non ve isto como unha deficiencia: desde o punto de vista da teoría da medida, ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ e non se pode definir satisfactoriamente. Nalgunhas situacións, porén, pode ser conveniente empregar integrais de Lebesgue impropias como é o caso, por exemplo, cando se define o valor principal de Cauchy. A integral de Lebesgue é máis ou menos esencial no tratamento teórico da transformada de Fourier, co uso xeralizado de integrais sobre toda a liña real.
• Para a integral de Henstock-Kurzweil, a integración impropia non é necesaria, e isto é visto como un punto forte da teoría: abrangue todas as funcións integrábeis impropias de Lebesgue e de Riemann.

Integrais de Riemann impropias e integrais de Lebesgue

Imaxe 1

Imaxe 2

Nalgúns casos, a integral

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$

pódese definir como unha integral (unha integral de Lebesgue, por exemplo) sen referencia ao límite

$\underset{b\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

pero non se pode calcular convenientemente doutro xeito.

Isto ocorre a miúdo cando a función f que se integra de a a c ten unha asíntota vertical en c, ou se $c=\mathrm{\infty }$ (ver Figuras 1 e 2). Nestes casos, a integral de Riemann impropia permite calcular a integral de Lebesgue da función. En concreto, o seguinte teorema ten Modelo:Harv:

• Se unha función f é integrábel de Riemann en [a,b] para todo b ≥ a, e as integrais parciais

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

están limitadas cando $b\to \mathrm{\infty }$, entón as integrais de Riemann impropias

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,\text{e }\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$

as dúas existen. A maiores, f é integrábel de Lebesgue en $\mathbf{\text{<mo stretchy="false">[</mo>}}a,\mathrm{\infty })$, e a súa integral de Lebesgue é igual á súa integral impropia de Riemann.

Por exemplo, a integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}$

pódese interpretar alternativamente como a integral impropia

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\arctan b=\frac{\pi }{2},$

ou pode interpretarse como unha integral de Lebesgue sobre o conxunto $(0,\mathrm{\infty })$.

Dado que ambos os dous tipos de integral coinciden, é libre de escoller o primeiro método para calcular o valor da integral, aínda que finalmente se queira considerar como unha integral de Lebesgue. Así, as integrais impropias son ferramentas claramente útiles para obter os valores reais das integrais.

Noutros casos, porén, é posíbel que nin sequera se defina unha integral de Lebesgue entre extremos finitos, porque as integrais das partes positiva e negativa de f son infinitas, pero a integral de Riemann impropia aínda pode existir. Eses casos son integrais "propiamente impropias", é dicir, os seus valores non se poden definir agás como eses límites. Por exemplo,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx$

non se pode interpretar como unha integral de Lebesgue, xa que

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin (x)}{x}\right|dx=\mathrm{\infty }.$

Mais $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ é, no entanto, integrábel entre dous extremos finitos calquera, e a súa integral entre 0 e $\mathrm{\infty }$ adoita entenderse como o límite da integral:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$

Singularidades

Pódese falar das singularidades dunha integral impropia, é dicir, aqueles puntos da recta real estendida nos que se usan límites.

Valor principal de Cauchy

Modelo:Artigo principal Considere a diferenza de valores de dous límites:

$\underset{a\to 0^{+}}{\lim }(\underset{-1}{\overset{-a}{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x})=0,$

$\underset{a\to 0^{+}}{\lim }(\underset{-1}{\overset{-a}{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{2a}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x})=-\ln 2.$

O primeiro é o valor principal de Cauchy da expresión que doutro xeito estaría mal definida

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}(\text{que}\text{dá}-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }).$

Do mesmo xeito, temos

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}=0,$

mais

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-2a}{\overset{a}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}=-\ln 4.$

O primeiro é o valor principal da expresión doutro xeito mal definida

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2xdx}{x^2+1}(\text{que}\text{dá}-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }).$

Todos os límites anteriores son casos da forma indeterminada $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }.$

Estas patoloxías non afectan ás funcións "integrábeis con Lebesgue", é dicir, ás funcións cuxos valores absolutos son finitos.

Sumabilidade

Unha integral impropia pode diverxer no sentido de que o límite que a define pode non existir. Neste caso, hai definicións máis sofisticadas do límite que poden producir un valor converxente para a integral impropia. Estes chámanse métodos de sumabilidade.

Un método de sumabilidade, popular na análise de Fourier, é o da suma de Cesàro. A integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

é Cesàro sumábel $(C,\alpha )$ se

$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{(1-\frac{x}{\lambda })}^{\alpha }f(x)dx$

existe e é finito Modelo:Harv. O valor deste límite, no caso de existir, é a suma $(C,\alpha )$ da integral.

Unha integral é $(C,0)$ sumábel precisamente cando existe como integral impropia. No entanto, hai integrais que son $(C,\alpha )$ sumábeis para $\alpha >0$ que non conseguen converxer como integrais impropias (no sentido de Riemann ou Lebesgue). Un exemplo é a integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin xdx$

que non pode existir como integral impropia, masi é $(C,\alpha )$ sumábel para todo $\alpha >0$. Esta é unha versión integral da serie de Grandi.

Integrais impropias multivariábeis

A integral impropia tamén se pode definir para funcións de varias variábeis. A definición é lixeiramente diferente, dependendo de se se precisa integrar nun dominio ilimitado, como ${ℝ}^2$, ou se está integrando unha función con singularidades, como $f(x,y)=\log (x^2+y^2)$.

Integrais impropias sobre dominios arbitrarios

Se $f:{ℝ}^n\to ℝ$ é unha función non negativa que é integrábel de Riemann sobre cada cubo compacto da forma $[-a,a{]}^n$, para $a>0$, entón a integral impropia de f sobre ${ℝ}^n$ defínese como o límite.

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{[-a,a{]}^n}{\int }f,$

sempre que exista.

Unha función nun dominio arbitrario A en ${ℝ}^n$ esténdese a unha función $\tilde{f}$ en ${ℝ}^n$ con cero fóra de A:

$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& x\in A\\ 0& x\in ̸A\end{array}$

A integral de Riemann dunha función sobre un dominio limitado A defínese entón como a integral da función estendida $\tilde{f}$ sobre un cubo $[-a,a{]}^n$ que contén A:

$\underset{A}{\int }f=\underset{[-a,a{]}^n}{\int }\tilde{f}.$

De forma máis xeral, se A non está limitada, entón a integral de Riemann impropia sobre un dominio arbitrario en ${ℝ}^n$ defínese como o límite:

$\underset{A}{\int }f=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A\cap [-a,a{]}^n}{\int }f=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{[-a,a{]}^n}{\int }\tilde{f}.$

Integrais impropias con singularidades

Se f é unha función non negativa que non está limitada nun dominio A, entón a integral impropia de f defínese truncando f nalgún corte M, integrando a función resultante e tomando o límite cando M tende ao infinito. Para $M>0$, estabelece $f_M=\min \{f,M\}$. Despois define

$\underset{A}{\int }f=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }{f}_M$

sempre que exista este límite.

Funcións con valores tanto positivos como negativos

Estas definicións aplícanse a funcións que non son negativas. Unha función máis xeral f pódese descompoñer como unha diferenza entre a súa parte positiva $f_{+}=\max \{f,0\}$ e a súa parte negativa $f_{-}=\max \{-f,0\}$, polo que

$f=f_{+}-f_{-}$

con $f_{+}$ e $f_{-}$ ambas as funcións non negativas. A función $f$ ten unha integral de Riemann impropia se cada unha de $f_{+}$ e $f_{-}$ ten unha integral impropia, nese caso o valor desa integral impropia defínese por

$\underset{A}{\int }f=\underset{A}{\int }{f}_{+}-\underset{A}{\int }{f}_{-}.$

Para existir neste sentido, a integral impropia converxe necesariamente absolutamente, xa que

$\underset{A}{\int }|f|=\underset{A}{\int }{f}_{+}+\underset{A}{\int }{f}_{-}.$

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Integral
• Integral de Lebesgue
• Límite dunha función

Ligazóns externas

• Métodos numéricos para resolver integrais impropias no Holistic Numerical Methods Institute