Función inversa

Unha función Modelo:Mvar e a súa inversa Modelo:Math. Como Modelo:Mvar relaciona Modelo:Mvar con 3, a inversa Modelo:Math relaciona 3 con Modelo:Mvar .

En matemáticas, a función inversa dunha función Modelo:Mvar (ou simplemente inversa de Modelo:Mvar ) é unha función que desfai a operación de Modelo:Mvar . A inversa de Modelo:Mvar existe se e só se Modelo:Mvar é bixectiva, e se existe, denotase por $f^{-1}.$

Para unha función $f:X\to Y$, a súa inversa $f^{-1}:Y\to X$ admite unha descrición explícita: envía cada elemento $y\in Y$ ao elemento único $x\in X$ tal que Modelo:Math.

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por Modelo:Math. Para desfacer isto, temos a inversa de Modelo:Mvar , que sería a función $f^{-1}:ℝ\to ℝ$ definida por $f^{-1}(y)=\frac{y+7}{5}.$

Definicións

Se Modelo:Mvar mapea Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, entón Modelo:Math mapea Modelo:Mvar de novo en Modelo:Mvar.

Sexa Modelo:Mvar unha función cuxo dominio é o conxunto Modelo:Mvar e cuxo codominio é o conxunto Modelo:Mvar Entón Modelo:Mvar é invertible se existe unha función Modelo:Mvar de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar tal que $g(f(x))=x$ para todos os $x\in X$ e $f(g(y))=y$ para todos os $y\in Y$.

Se Modelo:Mvar é invertible, entón hai exactamente unha función Modelo:Mvar que satisfai esta propiedade.

A función Modelo:Mvar é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición $g(f(x))=x$ para todos os $x\in X$ implica que Modelo:Mvar é Inxectiva e a condición $f(g(y))=y$ para todos os $y\in Y$ implica que Modelo:Mvar é sobrexectiva.

Inversas e composición

Lembre que se Modelo:Mvar é unha función invertible con dominio Modelo:Mvar e codominio Modelo:Mvar, entón

$f^{-1}(f(x))=x$, para cada $x\in X$ e $f(f^{-1}(y))=y$ para cada $y\in Y$.

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ e $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y,$

onde Modelo:Math é a función de identidade no conxunto Modelo:Mvar; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

Notación

Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é Modelo:Math que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é Modelo:Mvar que denotamos tamén como Modelo:Math. Isto sería diferente ao recíproco do seno $(\sin x{)}^{-1}=\frac{1}{\sin (x)}.$

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos

$\begin{array}{c}f(x)=5x+7,\text{ por exemplo }f(3)=5\cdot 3+7=22.\\ f^{-1}(x)=\frac{x-7}{5},\text{ aquí }f(22)=(22-7)/5=3.\\ (f(x){)}^{-1}=\frac{1}{5x+7},\text{ o recíproco ou multiplicativo inverso }(f(3){)}^{-1}=\frac{1}{22}\end{array}$.

Exemplos

Funcións do cadrado e da raíz cadrada

A función Modelo:Math dada por Modelo:Math non é inxectiva porque $(-x{)}^2=x^2$ para tódolos $x\in ℝ$. Polo tanto, Modelo:Mvar non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty });x\mapsto x^2$ coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por $x\mapsto \sqrt{x}$ .

Funcións inversas estándar

A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:

Funcións aritméticas inversas

Función Modelo:Math	Inversa Modelo:Math	Notas
Modelo:Math	Modelo:Math
Modelo:Math	Modelo:Math
Modelo:Math	Modelo:Sfrac	Modelo:Math
Modelo:Sfrac (isto é, Modelo:Math)	Modelo:Sfrac (isto é, Modelo:Math)	Modelo:Math
Modelo:Math	$\sqrt[p]{y}$ (isto é, Modelo:Math)	Modelo:Math se Modelo:Math é par; enteiro Modelo:Math
Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math e Modelo:Math
Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math e Modelo:Math
funcións trigonométricas	funcións trigonométricas inversas	varias restricións (ver táboa embaixo de inversas parciais)
función hiperbólica	funcións hiperbólicas inversas	varias restricións

Propiedades

Unicidade

Se existe unha función inversa para unha función Modelo:Mvar dada, entón é única.

Simetría

Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se Modelo:Mvar é unha función invertible con dominio Modelo:Mvar e codominio Modelo:Mvar, entón a súa inversa Modelo:Math ten dominio Modelo:Mvar e imaxe Modelo:Mvar, e a inversa de Modelo:Math é a función orixinal Modelo:Mvar .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que Modelo:Mvar sexa invertible debe ser bixectiva.

${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f.$

O inverso de Modelo:Math é Modelo:Math .

A inversa dunha composición de funcións vén dada por

$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Observe que a orde de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar foron invertidas; para desfacer Modelo:Mvar seguido de Modelo:Mvar, primeiro debemos desfacer Modelo:Mvar, e despois desfacer Modelo:Mvar .

Por exemplo, sexa Modelo:Math e sexa Modelo:Math. Entón a composición Modelo:Math é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,

$(g\circ f)(x)=3x+5.$

Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,

$(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5).$

Esta é a composición Modelo:Math.

Autoinversas

Se Modelo:Mvar é un conxunto, entón a función de identidade en Modelo:Mvar é a súa propia inversa:

${{\mathrm{id}}_X}^{-1}={\mathrm{id}}_X.$

Máis xeralmente, unha función Modelo:Math é igual á súa propia inversa, se e só se a composición Modelo:Math é igual a Modelo:Math . Tal función chámase involución.

Gráfica da inversa

As gráficas de Modelo:Math e Modelo:Math. A liña de puntos é Modelo:Math.

Se Modelo:Mvar é invertible, entón a gráfica da función

$y=f^{-1}(x)$

é a mesma que a gráfica da ecuación

$x=f(y).$

Inversas e derivadas

O teorema da función inversa afirma que unha función continua Modelo:Mvar é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función

$f(x)=x^3+x$

é invertible, xa que a derivada Modelo:Math é sempre positiva.

Se a función Modelo:Mvar é derivable nun intervalo Modelo:Mvar e Modelo:Math para cada Modelo:Math, entón a inversa Modelo:Math é derivable en Modelo:Math . Se Modelo:Math, a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,

${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}.$

Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}.$

Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable Modelo:Math é invertible nunha veciñanza dun punto Modelo:Mvar sempre que a matriz xacobiana de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de Modelo:Math en Modelo:Math é a matriz inversa do xacobiano de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar.

Xeneralizacións

Inversas parciais

A raíz cadrada de Modelo:Mvar é unha inversa parcial de Modelo:Math.

Aínda que unha función Modelo:Mvar non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha inversa parcial de Modelo:Mvar mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función

$f(x)=x^2$

non é un a un, xa que Modelo:Math. No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio Modelo:Math, nese caso

$f^{-1}(y)=\sqrt{y}.$

(Se en troques restrinximos ao dominio Modelo:Math, entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de Modelo:Mvar). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor:

$f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y}.$

A inversa desta función cúbica ten tres ramas.

Ás veces, este inverso multivalor chámase inverso completo de Modelo:Mvar, e as porcións (como Modelo:Sqrt e −Modelo:Sqrt) chámanse ramas. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase rama principal, e o seu valor en Modelo:Mvar chámase valor principal de Modelo:Math.

Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente).

O arcoseno é un inverso parcial da función seno.

Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que

$\sin (x+2\pi )=\sin (x)$

para cada Modelo:Mvar real (e máis xeralmente Modelo:Math para cada número enteiro Modelo:Mvar). Non obstante, o seno é un a un no intervalo [[[:Modelo:Sfrac]], Modelo:Sfrac], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre −Modelo:Sfrac e Modelo:Sfrac. A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:

función	Intervalo do valor principal habitual
arcsin	Modelo:Math
arccos	Modelo:Math
arctan	Modelo:Math
arcot	Modelo:Math
arcsec	Modelo:Math
arccsc	Modelo:Math

Inversos pola esquerda e pola dereita

A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións

1. "Existe Modelo:Mvar tal que Modelo:Math" e
2. "Existe Modelo:Mvar tal que Modelo:Math"

implica propiedades diferentes de Modelo:Mvar. Por exemplo, denotamos Modelo:Math o mapa de cadrados, de tal xeito que $f(x)=x^2$ para todos os Modelo:Mvar en Modelo:Math, e denotamos Modelo:Math → R como o mapa da raíz cadrada, tal que $g(x)=\sqrt{x}$ para todos os Modelo:Math. Entón Modelo:Math para todos os Modelo:Mvar en [ 0, ∞); é dicir, Modelo:Mvar é unha inversa pola dereita de Modelo:Mvar. No entanto, Modelo:Mvar non é unha inversa pola esquerda de Modelo:Mvar, xa que, por exemplo, Modelo:Math.

Inversos pola esquerda

Se Modelo:Math, temos que unha inversa pola esquerda para Modelo:Mvar (ou retracción de Modelo:Mvar ) é unha función Modelo:Math de tal xeito que compoñer Modelo:Mvar con Modelo:Mvar desde a esquerda dá a función identidade :$g\circ f={\mathrm{id}}_X.$ Isto é, a función Modelo:Mvar cumpre a regra

Se Modelo:Math, entón Modelo:Math.

A función Modelo:Mvar debe ser igual á inversa de Modelo:Mvar na imaxe de Modelo:Mvar, mais pode tomar calquera valor para elementos de Modelo:Mvar que non sexan a imaxe.

Unha función Modelo:Mvar con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.

En matemáticas clásicas, toda función inxectiva Modelo:Mvar cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas.

Inversas pola dereita

Exemplo de inversa pola dereita con función sobrexectiva non inxectiva

Unha inversa pola dereita para Modelo:Mvar (ou sección de Modelo:Mvar ) é unha función Modelo:Math tal que

$f\circ h={\mathrm{id}}_Y.$

É dicir, a función Modelo:Mvar cumpre a regra

Se $h(y)=x$, entón $f(x)=y.$

Así, Modelo:Math pode ser calquera dos elementos de Modelo:Mvar que se asigna a Modelo:Mvar baixo Modelo:Mvar.

Unha función Modelo:Mvar ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla).

Se Modelo:Mvar é a inversa pola dereita de Modelo:Mvar, entón Modelo:Mvar é sobrexectiva. Para todo $y\in Y$, hai $x=h(y)$ tal que $f(x)=f(h(y))=y$.

Se Modelo:Mvar é sobrexectiva, Modelo:Mvar ten unha inversa pola dereita Modelo:Mvar, que se pode construír do seguinte xeito: para todo $y\in Y$, hai polo menos un $x\in X$ tal que $f(x)=y$ (porque Modelo:Mvar é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de Modelo:Math.

Inversas bilaterais

Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha inversa bilateral), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente inversa.

Se $g$ é unha inversa pola esquerda e $h$ unha inversa pola dereita de $f$, para todo $y\in Y$, $g(y)=g(f(h(y))=h(y)$.

Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.

Preimaxes

Se Modelo:Math é calquera función (non necesariamente invertíbel), a preimaxe (ou a imaxe inversa) dun elemento Modelo:Math defínese como o conxunto de todos os elementos de Modelo:Mvar que se asignan a Modelo:Mvar:

$f^{-1}(\{y\})=\{x\in X:f(x)=y\}.$

A preimaxe de Modelo:Mvar pódese pensar como a imaxe de Modelo:Mvar baixo o inverso completo (multivalor) da función Modelo:Mvar.

Do mesmo xeito, se Modelo:Mvar é calquera subconxunto de Modelo:Mvar, a preimaxe de Modelo:Mvar, denotada como $f^{-1}(S)$, é o conxunto de todos os elementos de Modelo:Mvar que se asignan a Modelo:Mvar:

$f^{-1}(S)=\{x\in X:f(x)\in S\}.$

Por exemplo, tome a función Modelo:Math. Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo.

$f^{-1}(\{1,4,9,16\})=\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\}$.

A preimaxe dun só elemento Modelo:Math (un conxunto unitario Modelo:Math), ás veces chámase fibra de Modelo:Mvar. Cando Modelo:Mvar é o conxunto de números reais, é común referirse a Modelo:Math como un conxunto de nivel.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Extremos dunha función.
• Derivada.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades