Conxunto unitario

En matemáticas, un conxunto unitario ou singleton, é un conxunto con exactamente un elemento. Por exemplo, o conxunto $\{2\}$ é un conxunto unitario cuxo único elemento é $2$.

Propiedades

No marco da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, o axioma de regularidade garante que ningún conxunto é un elemento de si mesmo. Isto implica que un conxunto unitario é necesariamente distinto do elemento que contén,polo tanto 1 e $\{1\}$ non son o mesmo, e o conxunto baleiro é distinto do conxunto que contén só o conxunto baleiro. Un conxunto como $\{\{1,2,3\}\}$ é un conxunto unitario xa que contén un único elemento (que en si é un conxunto non unitario).

Un conxunto é unitario se e só se a súa cardinalidade é 1.

Na teoría axiomática de conxuntos, a existencia de conxuntos unirarios é unha consecuencia do axioma de emparellamento: para calquera conxunto A, o axioma aplicado a A e A afirma a existencia de $\{A,A\},$ que é o mesmo que o conxunto unitario $\{A\}$ (xa que contén A, e ningún outro conxunto, como elemento).

Cada sconxunto unitario é un obxecto terminal na categoría de conxuntos.

Un conxunto unitario ten a propiedade de que cada función desde el a calquera conxunto arbitrario é inxectiva. O único conxunto non singleton con esta propiedade é o conxunto baleiro.

Cada conxunto unitario é un ultra prefiltro.

A secuencia de números de Bell conta o número de particións dun conxunto Modelo:OEIS, se se excúen os conxuntos unitarios, os números evidentemente son menores Modelo:OEIS.

Na teoría de categorías

As estruturas construídas con conxuntos unitarios adoitan servir como obxectos terminais ou obxectos cero de varias categorías:

• A afirmación anterior mostra que os conxuntos unitarios son precisamente os obxectos terminais da categoría Conxunto de conxuntos. Ningún outro conxunto é terminal.
• Calquera conxunto unitario admite unha estrutura espacial topolóxica única (ambos subconxuntos están abertos). Estes espazos topolóxicos únicos son obxectos terminais na categoría de espazos topolóxicos e funcións continuas. Non hai outros espazos terminais nesa categoría.
• Calquera conxunto unitario admite unha estrutura de grupo única (o elemento único que serve como elemento de identidade). Estes grupos unitarios son obxectos cero na categoría de grupos e homomorfismos de grupos. Ningún outro grupo é terminal nesa categoría.

Definición por funcións indicadoras

Sexa Modelo:Mvar unha clase definida por unha función indicadora $$b:X\to \{0,1\}.$$Daquela Modelo:Mvar é un conxunto unitario se e só se hai algún $y\in X$ tal que para tódolos $x\in X,$$$b(x)=(x=y).$$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:Sfn

Modelo:Control de autoridades