Diferencial dunha función

En cálculo, o diferencial representa a parte principal do cambio nunha función $y=f(x)$ en relación a cambios na variábel independente. O diferencial $dy$ defínese como:

$dy=f^{\prime }(x)dx,$

onde $f^{\prime }(x)$ é a derivada de Modelo:Math en relación a $x$, e $dx$ é unha variábel real adicional (de modo que $dy$ é unha función de $x$ e $dx$).

Tamén se escribe:

$df(x)=f^{\prime }(x)dx.$

Tradicionalmente, as variábeis $dx$ e $dy$ considéranse moi pequenas (infinitesimais), e esta interpretación faise rigorosa na análise non estándar.

Historia e uso

O diferencial foi introducido por primeira vez mediante unha definición intuitiva ou heurística por Isaac Newton e desenvolvido por Gottfried Leibniz, quen considerou o diferencial Modelo:Math como un cambio infinitamente pequeno (ou infinitesimal) no valor Modelo:Mvar da función, correspondente a un cambio infinitamente pequeno Modelo:Math no argumento Modelo:Mvar da función. Por esa razón, a taxa de cambio instantánea de Modelo:Mvar en relación a Modelo:Mvar, que é o valor da derivada da función, denótase como a fracción:

$\frac{dy}{dx}$

no que se chama a notación de Leibniz para as derivadas. O cociente $dy/dx$ non é infinitamente pequeno; máis ben é un número real.

Augustin-Louis Cauchy (1823) definiu o diferencial sen recorrer ao atomismo dos infinitesimais de Leibniz. No canto diso, Cauchy, seguindo a d'Alembert, inverteu a orde lóxica de Leibniz e os seus sucesores: a derivada converteuse no obxecto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferenzas, e os diferenciais definíronse entón en termos dela. É dicir, era libre de definir o diferencial $dy$ mediante unha expresión:

$dy=f^{\prime }(x)dx$

na que $dy$ e $dx$ son simplemente novas variábeis que toman valores reais finitos, non infinitesimais fixos como o eran para Leibniz.

Definición

O diferencial dunha función $f(x)$ nun punto $x_0$.

O diferencial defínese nos tratados modernos de cálculo diferencial do seguinte xeito. O diferencial dunha función $f(x)$ dunha única variábel real $x$ é a función $df$ de dúas variábeis reais independentes $x$ e $\mathrm{\Delta }x$ dada por:

$df(x,\mathrm{\Delta }x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{f}^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x.$

Un ou ambos os argumentos poden suprimirse, é dicir, pódese ver $df(x)$ ou simplemente $df$.

Se $y=f(x)$, o diferencial tamén se pode escribir como $dy$. Dado que $dx(x,\mathrm{\Delta }x)=\mathrm{\Delta }x$, é convencional escribir $dx=\mathrm{\Delta }x$ de modo que se cumpra a seguinte igualdade:

$df(x)=f^{\prime }(x)dx$

Esta noción de diferencial é amplamente aplicábel cando se busca unha aproximación linear a unha función, na que o valor do incremento $\mathrm{\Delta }x$ é suficientemente pequeno. Máis precisamente, se $f$ é unha función diferenciábel en $x$, entón a diferenza nos valores de $y$:

$\mathrm{\Delta }y\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

cumpre:

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\epsilon =df(x)+\epsilon$

onde o erro $\epsilon$ na aproximación cumpre $\epsilon /\mathrm{\Delta }x\to 0$ cando $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Noutras palabras, tense a identidade aproximada:

$\mathrm{\Delta }y\approx dy$

na que o erro pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a $\mathrm{\Delta }x$ limitando $\mathrm{\Delta }x$ a ser suficientemente pequeno; é dicir:

$\frac{\mathrm{\Delta }y-dy}{\mathrm{\Delta }x}\to 0$

cando $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Por esta razón, o diferencial dunha función coñécese como a parte principal (linear) no incremento dunha función: o diferencial é unha función linear do incremento $\mathrm{\Delta }x$, e aínda que o erro $\epsilon$ poida ser non linear, tende a cero rapidamente cando $\mathrm{\Delta }x$ tende a cero.

Diferenciais en varias variábeis

Operador / Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $df\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_{x}dx$	2: $d_{x}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_{x}dx$ 3: $df\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_{x}dx+f{\text{'}}_{y}dy+f{\text{'}}_{u}du+f{\text{'}}_{v}dv$
Derivada parcial	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{df}{dx}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{d_{x}f}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Derivada total	$\frac{df}{dx}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{df}{dx}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{du}{dx}+f{\text{'}}_v\frac{dv}{dx};(f{\text{'}}_y\frac{dy}{dx}=0)$

Seguindo a Modelo:Harvtxt, para funcións de máis dunha variábel independente,

$y=f(x_1,\dots ,x_n),$

o diferencial parcial de Modelo:Mvar en relación a calquera unha das variábeis Modelo:Math é a parte principal do cambio en Modelo:Mvar resultante dun cambio Modelo:Math nesa variábel. O diferencial parcial é, polo tanto,

$\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1$

que implica a derivada parcial de Modelo:Mvar en relación a Modelo:Math. A suma dos diferenciais parciais en relación a todas as variábeis independentes é o diferencial total

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n,$

que é a parte principal do cambio en Modelo:Mvar resultante de cambios nas variábeis independentes Modelo:Math.

Máis precisamente, no contexto do cálculo multivariábel, seguindo a Modelo:Harvtxt, se Modelo:Math é unha función diferenciábel, entón, pola definición de diferenciabilidade, o incremento:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }y& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x_1+\mathrm{\Delta }{x}_1,\dots ,x_n+\mathrm{\Delta }{x}_n)-f(x_1,\dots ,x_n)\\ & =\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\mathrm{\Delta }{x}_n+{\epsilon }_1\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +{\epsilon }_n\mathrm{\Delta }{x}_n\end{array}$

onde os termos de erro Modelo:Math tenden a cero cando os incrementos Modelo:Math tenden conxuntamente a cero. O diferencial total defínese entón rigorosamente como:

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\mathrm{\Delta }{x}_n.$

Dado que, con esta definición, $d{x}_i(\mathrm{\Delta }{x}_1,\dots ,\mathrm{\Delta }{x}_n)=\mathrm{\Delta }{x}_i,$ tense: $dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n.$

Como no caso dunha variábel, cúmprese a identidade aproximada:

$dy\approx \mathrm{\Delta }y$

na que o erro total pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a $\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}_1^2+\cdots +\mathrm{\Delta }{x}_n^2}$ limitando a atención a incrementos suficientemente pequenos.

Diferenciais de orde superior

Os diferenciais de orde superior dunha función Modelo:Math dunha única variábel Modelo:Mvar pódense definir mediante:

$d^{2}y=d(dy)=d(f^{\prime }(x)dx)=(d{f}^{\prime }(x))dx=f^{″}(x)(dx{)}^2,$

e, en xeral,

$d^{n}y=f^{(n)}(x)(dx{)}^n.$

Informalmente, isto motiva a notación de Leibniz para as derivadas de orde superior:

$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}f}{d{x}^n}.$

Cando a variábel independente Modelo:Mvar permítese que dependa doutras variábeis, a expresión faise máis complicada, xa que debe incluír tamén diferenciais de orde superior en Modelo:Mvar mesma. Así, por exemplo,

$\begin{array}{cc}{d}^{2}y& =f^{″}(x)(dx{)}^2+f^{\prime }(x)d^{2}x\\ d^{3}y& =f^{‴}(x)(dx{)}^3+3f^{″}(x)dx{d}^{2}x+f^{\prime }(x)d^{3}x\end{array}$

e así sucesivamente.

Consideracións similares aplícanse á definición de diferenciais de orde superior para funcións de varias variábeis. Por exemplo, se Modelo:Math é unha función de dúas variábeis Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, entón

$d^{n}f=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^k\partial y^{n-k}}(dx{)}^k(dy{)}^{n-k},$

onde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ é un coeficiente binomial. En máis variábeis, mantense unha expresión análoga, pero cunha expansión multinomial apropiada no canto dunha expansión binomial.

Os diferenciais de orde superior en varias variábeis tamén se volven máis complicados cando as variábeis independentes poden depender doutras variábeis. Por exemplo, para unha función Modelo:Math de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar que poden depender de variábeis auxiliares, temos:

$d^{2}f=(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(dx{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(dy{)}^2)+\frac{\partial f}{\partial x}{d}^{2}x+\frac{\partial f}{\partial y}{d}^{2}y.$

Propiedades

Unha serie de propiedades do diferencial dedúcense de maneira directa das propiedades correspondentes da derivada, a derivada parcial e a derivada total. Estas inclúen:

• Linearidade: Para constantes Modelo:Math e Modelo:Math e funcións diferenciábeis Modelo:Math e Modelo:Math,

$d(af+bg)=adf+bdg.$

• Regra do produto: Para dúas funcións diferenciábeis Modelo:Math e Modelo:Math,

$d(fg)=fdg+gdf.$

Unha operación Modelo:Math con estas dúas propiedades coñécese en álxebra abstracta como unha derivación. Estas implican a regra da potencia:

$d(f^n)=n{f}^{n-1}df$

A maiores, cúmprense varias formas da regra da cadea, con niveis crecentes de xeneralidade:

• Se Modelo:Math é unha función diferenciábel da variábel Modelo:Mvar e Modelo:Math é unha función diferenciábel de Modelo:Mvar, logo:

$dy=f^{\prime }(u)du=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)dx.$

• Se Modelo:Math e todas as variábeis Modelo:Math dependen doutra variábel Modelo:Mvar, entón, pola regra da cadea para varias variábeis, temos:

$\begin{array}{cc}dy=\frac{dy}{dt}dt& =\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n\\ & =\frac{\partial y}{\partial x_1}\frac{d{x}_1}{dt}dt+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\frac{d{x}_n}{dt}dt.\end{array}$

Heuristicamente, a regra da cadea para varias variábeis pode entenderse dividindo ambos os lados desta ecuación pola cantidade infinitamente pequena Modelo:Math.

• Expresións análogas máis xerais cúmprense, nas que as variábeis intermedias Modelo:Math dependen de máis dunha variábel.

Formulación xeral

Modelo:Véxase tamén Pode desenvolverse unha noción consistente de diferencial para unha función Modelo:Math entre dous espazos euclidianos. Sexan Modelo:Math un par de vectores euclidianos. O incremento na función Modelo:Math é:

$\mathrm{\Delta }f=f(𝐱+\mathrm{\Delta }𝐱)-f(𝐱).$

Se existe unha matriz Modelo:Math Modelo:Mvar tal que:

$\mathrm{\Delta }f=A\mathrm{\Delta }𝐱+\Vert \mathrm{\Delta }𝐱\Vert \mathit{\epsilon }$

na que o vector Modelo:Math cando Modelo:Math, entón Modelo:Math é, por definición, diferenciábel no punto Modelo:Math.

A matriz Modelo:Mvar ás veces coñécese como a matriz jacobiana, e a transformación linear que asocia ao incremento Modelo:Math o vector Modelo:Math é, neste contexto xeral, coñecida como o diferencial Modelo:Math de Modelo:Math no punto Modelo:Mvar. Esta é precisamente a derivada de Fréchet, e a mesma construción pode facerse funcionar para unha función entre calquera espazo de Banach.

Outro punto de vista fructífero é definir o diferencial directamente como un tipo de derivada direccional:

$df(𝐱,𝐡)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+t𝐡)-f(𝐱)}{t}={\frac{d}{dt}f(𝐱+t𝐡)|}_{t=0},$

que é o enfoque xa tomado para definir diferenciais de orde superior (e é o máis próximo á definición estabelecida por Cauchy).

Se Modelo:Mvar representa o tempo e x a posición, entón h representa unha velocidade no canto dun desprazamento, como o consideramos ata agora. Isto ofrece outra refinación da noción de diferencial: que debe ser unha función linear dunha velocidade cinemática. O conxunto de todas as velocidades a través dun punto dado do espazo coñécese como o espazo tanxente, e así Modelo:Math ofrece unha función linear no espazo tanxente: unha forma diferencial. Con esta interpretación, o diferencial de Modelo:Math coñécese como a derivada exterior, e ten unha ampla aplicación en xeometría diferencial, xa que a noción de velocidade e o espazo tanxente ten sentido en calquera variedade diferenciábel. Se, a maiores, o valor de saída de Modelo:Math tamén representa unha posición (nun espazo euclidiano), entón unha análise dimensional confirma que o valor de saída de df debe ser unha velocidade. Se se trata o diferencial deste xeito, entón coñécese como o pulo (diferencial), xa que "empurra" velocidades dun espazo fonte a velocidades nun espazo destino.

Exemplos e aplicacións

Os diferenciais poden usarse efectivamente na análise numérica para estudar a propagación de erros experimentais nun cálculo e, polo tanto, a estabilidade numérica global dun problema Modelo:Harv. Supóñase que a variábel Modelo:Mvar representa o resultado dun experimento e Modelo:Mvar é o resultado dun cálculo numérico aplicado a x. A cuestión é ata que punto os erros na medida de Modelo:Mvar inflúen no resultado do cálculo de y. Se Modelo:Mvar se coñece dentro dun intervalo Δx do seu valor real, entón o teorema de Taylor ofrece a seguinte estimación do erro Δy no cálculo de y:

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2}{f}^{″}(\xi )$

onde Modelo:Math para algún Modelo:Math. Se Modelo:Math é pequeno, entón o termo de segunda orde é desprezábel, de modo que Δy está, para efectos prácticos, ben aproximado por Modelo:Math.

O diferencial é a miúdo útil para reescribir unha ecuación diferencial:

$\frac{dy}{dx}=g(x)$

na forma:

$dy=g(x)dx,$

en particular cando se queren separar as variábeis.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• derivada total
• derivada

Ligazóns externas

• Differential Of A Function en Wolfram Demonstrations Project

Modelo:Control de autoridades