Produto cartesiano

Produto cartesiano dos conxuntos {x,y,z} e {1,2,3}

Na Matemática, dados dous conxuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto directo) dos dous conxuntos (escrito como X × Y) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y.

$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\wedge y\in Y\}.$

O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.

Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa

$X=\{\mathrm{A},\mathrm{K},\mathrm{Q},\mathrm{J},10,9,8,7,6,5,4,3,2\}$

e o Y é o dos catro paus:

Y = {♠, ♥, ♦, ♣}

entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:

X × Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }.

Coordenadas cartesianas con algúns puntos como exemplo

Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (x,y), onde x e y son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.

Cardinal

O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:

$|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$

Xeneralización

O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:

X₁ × ... × X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ pertence a X₁ e ... e x_n pertence a X_n }

ou intuitivamente (X₁ × ... × X_n-1) × X_n.

Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos:

{1, 2, 3}

o conxunto M con dous elementos:

{a,b},

e o conxunto N con 2 elementos:

{$, %},

o produto cartesiano L × M × N é:

{(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }

Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións $ℝ\times ℝ\times ℝ$.

Notación potencial

Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:

$\begin{array}{ccc}& \underbrace{X\times X\times \cdots \times X}& =X^n\\ & n\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}\end{array}$

Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como ${ℝ}^3$.

Produto infinito

A observación de que a estrutura do produto cartesiano $X^n$ ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe X suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.

Sexa $\mathrm{\Lambda }$ un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa $X_{\lambda }$ un conxunto definido para cada índice $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ (poden ser iguais ou non). Entón o produto destes conxuntos é definido por:

• $\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\{f:\mathrm{\Lambda }\to \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }f(a)\in X_a\}$

Exemplo

Sexa $\mathrm{\Lambda }={\mathbb{N}}^{\mathbb{\star }}$, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa $X_i=\{1,2,\dots ,i\}$. Entón $\prod X_i$ é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.

Proxección canónica

As funcións máis importantes que teñen como dominio un produto cartesiano son as proxeccións canónicas.

No caso finito, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna a i-ésima coordenada.

Ou sexa:

• ${\pi }_i(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)=x_i$

No caso infinito, como cada elemento de ${\mathrm{\Pi }}_{\lambda }{X}_{\lambda }$ é unha función, temos que:

• ${\pi }_{\lambda }(f)=f(\lambda )$

Exemplos

• En ${ℝ}^2$, as dúas proxecións canónicas son:

${\pi }_1(x,y)=x$

${\pi }_2(x,y)=y$

• No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto ${\mathrm{\Pi }}_{i\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\star }}}ℝ$, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo:

${\pi }_{10}(2,4,8,16,\dots )=1024$

Produtos de Estruturas Matemáticas

Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo:

• o produto cartesiano de grupos é un grupo.
• o produto cartesiano de espazos vectoriais sobre o mesmo corpo é un espazo vectorial.
• o produto cartesiano de topoloxías é unha topoloxía, a topoloxía produto.