Función vectorial

Unha función vectorial, é unha función matemática dunha ou máis variábeis cuxo rango é un conxunto de vectores multidimensionais ou vectores de dimensión infinita. A entrada dunha función vectorial pode ser un escalar ou un vector (é dicir, a dimensión do dominio pode ser 1 ou maior que 1); a dimensión do dominio da función non ten relación coa dimensión do seu rango.

Exemplo: Hélice

Unha gráfica da función vectorial Modelo:Math indicando un rango de solucións e o vector cando se avalía preto de Modelo:Math

Un exemplo común dunha función vectorial é unha que depende dun único parámetro real Modelo:Mvar, que a miúdo representa o tempo, producindo un vector Modelo:Math como resultado. En termos dos vectores unitarios estándar Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math do [[espazo cartesiano|espazo cartesiano Modelo:Nowrap]], estes tipos específicos de funcións vectoriais vén dados por expresións como

$𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

onde Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math son as funcións coordenadas do parámetro Modelo:Mvar, e o dominio desta función vectorial é a intersección dos dominios das funcións Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math. Tamén se pode referir nunha notación diferente:

$𝐫(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$

O vector Modelo:Math ten a súa cola na orixe e a súa cabeza nas coordenadas avaliadas pola función.

O vector mostrado na gráfica da dereita é a avaliación da función $⟨2\cos t,4\sin t,t⟩$ preto de Modelo:Math (entre Modelo:Math e Modelo:Math; é dicir, algo máis de 3 rotacións). A hélice é o camiño trazado pola punta do vector a medida que Modelo:Mvar aumenta desde cero ata Modelo:Math.

En 2D, podemos falar de forma análoga sobre funcións vectoriais como:

$𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$

ou

$𝐫(t)=⟨f(t),g(t)⟩$

Caso linear

No caso linear, a función pode expresarse en termos de matrices:

$𝐲=A𝐱,$

onde Modelo:Math é un vector de saída Modelo:Math, Modelo:Math é un vector de entradas Modelo:Math, e Modelo:Math é unha matriz de parámetros Modelo:Math. Estreitamente relacionado está o caso afín (linear ata unha translación) onde a función toma a forma

$𝐲=A𝐱+𝐛,$

onde Modelo:Math é un vector de Modelo:Math parámetros.

Representación paramétrica dunha superficie

Unha superficie é un conxunto de puntos de 2 dimensións mergullado (máis comunmente) nun espazo de 3 dimensións. Unha forma de representar unha superficie é con ecuacións paramétricas, nas que dous parámetros Modelo:Mvar e Modelo:Mvar determinan as tres coordenadas cartesianas de calquera punto da superficie:

$(x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t))\equiv 𝐅(s,t).$

Aquí Modelo:Math é unha función vectorial. Para unha superficie incrustada nun espazo de Modelo:Mvar dimensións, tense de forma similar a representación

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(f_1(s,t),f_2(s,t),\dots ,f_n(s,t))\equiv 𝐅(s,t).$

Derivada dunha función vectorial tridimensional

Modelo:Véxase tamén Moitas funcións vectoriais, como as funciones escalares, poden derivarse simplemente derivando as compoñentes no sistema de coordenadas cartesianas. Así, se

$𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

é unha función vectorial, entón

$\frac{d𝐫}{dt}=f^{\prime }(t)𝐢+g^{\prime }(t)𝐣+h^{\prime }(t)𝐤.$

A derivada vectorial admite a seguinte interpretación física: se Modelo:Math representa a posición dunha partícula, entón a derivada é a velocidade da partícula

$𝐯(t)=\frac{d𝐫}{dt}.$

Do mesmo xeito, a derivada da velocidade é a aceleración

$\frac{d𝐯}{dt}=𝐚(t).$

Derivada parcial

A derivada parcial dunha función vectorial Modelo:Math en relación a unha variábel escalar Modelo:Mvar defínese como

$\frac{\partial 𝐚}{\partial q}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial a_i}{\partial q}{𝐞}_i$

onde Modelo:Math é a compoñente escalar de Modelo:Math na dirección de Modelo:Math. Tamén se chama coseno director de Modelo:Math e Modelo:Math ou o seu produto escalar. Os vectores Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math forman unha base ortonormal fixa no sistema de referencia no que se está a tomar a derivada.

Derivada ordinaria

Se Modelo:Math se considera unha función vectorial dunha única variábel escalar, como o tempo Modelo:Mvar, entón a ecuación anterior redúcese á primeira derivada temporal ordinaria de a en relación a Modelo:Mvar,

$\frac{d𝐚}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{d{a}_i}{dt}{𝐞}_i.$

Derivada total

Se o vector Modelo:Math é unha función dun número Modelo:Mvar de variábeis escalares Modelo:Math, e cada Modelo:Math é só unha función do tempo Modelo:Mvar, entón a derivada ordinaria de Modelo:Math en relación a Modelo:Mvar pode expresarse, nunha forma coñecida como a derivada total, como

$\frac{d𝐚}{dt}=\sum _{r=1}^n\frac{\partial 𝐚}{\partial q_r}\frac{d{q}_r}{dt}+\frac{\partial 𝐚}{\partial t}.$

Algúns autores prefiren usar Modelo:Math maiúscula para indicar o operador de derivada total, como en Modelo:Math.

A derivada total difire da derivada temporal parcial en que a derivada total ten en conta os cambios en Modelo:Math debido á variación temporal das variábeis Modelo:Math.

Sistemas de referencia

Mentres que para as funcións escalares só hai un único sistema de referencia posíbel, para tomar a derivada dunha función vectorial require a elección dun sistema de referencia (polo menos cando non se implica un sistema de coordenadas cartesianas fixo como tal). Unha vez elixido un sistema de referencia, a derivada dunha función vectorial pode calcularse usando técnicas similares ás usadas para calcular derivadas de funcións escalares. Unha escolla diferente do sistema de referencia producirá, en xeral, unha función derivada diferente. As funcións derivadas en diferentes sistemas de referencia teñen unha relación cinemática específica.

Derivada dunha función vectorial con bases non fixas

As fórmulas anteriores para a derivada dunha función vectorial baséanse no suposto de que os vectores base e₁, e₂, e₃ son constantes, é dicir, fixos no sistema de referencia no que se está a tomar a derivada de a, e polo tanto cada un dos e₁, e₂, e₃ ten unha derivada idénticamente cero. Isto a miúdo é certo para problemas que tratan con campos vectoriais nun sistema de coordenadas fixo, ou para problemas simples en física.

No entanto, moitos problemas complexos implican a derivada dunha función vectorial en múltiples sistemas de referencia móbiles, o que significa que os vectores base non serán necesariamente constantes. Neste caso, onde os vectores base e₁, e₂, e₃ están fixos no sistema de referencia E, pero non no sistema de referencia N, a fórmula máis xeral para a derivada temporal ordinaria dun vector no sistema de referencia N é

$\frac{{}^{\mathrm{N}}d𝐚}{dt}=\sum _{i=1}^3\frac{d{a}_i}{dt}{𝐞}_i+\sum _{i=1}^3{a}_i\frac{{}^{\mathrm{N}}d{𝐞}_i}{dt}$

onde o superíndice N á esquerda do operador derivada indica o sistema de referencia no que se toma a derivada.

Como se mostrou anteriormente, o primeiro termo do lado dereito é igual á derivada de Modelo:Math no sistema de referencia onde Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math son constantes, o sistema de referencia E. Tamén se pode demostrar que o segundo termo do lado dereito é igual á velocidade angular relativa dos dous sistemas de referencia co produto vectorial co vector a mesmo. Así, trala substitución, a fórmula que relaciona a derivada dunha función vectorial en dous sistemas de referencia é

$\frac{{}^{\mathrm{N}}d𝐚}{dt}=\frac{{}^{\mathrm{E}}d𝐚}{dt}+{}^{\mathrm{N}}{\mathit{\omega }}^{\mathrm{E}}\times 𝐚$

onde Modelo:Math é a velocidade angular do sistema de referencia E en relación ao sistema de referencia N.

Un exemplo común onde se usa esta fórmula é para atopar a velocidade dun obxecto espacial, como un foguete, no sistema de referencia inercial usando medicións da velocidade do foguete respecto ao chan. A velocidade Modelo:Math no sistema de referencia inercial N dun foguete R situado na posición Modelo:Math pode atoparse usando a fórmula

$\frac{{}^{\mathrm{N}}d}{dt}({𝐫}^{\mathrm{R}})=\frac{{}^{\mathrm{E}}d}{dt}({𝐫}^{\mathrm{R}})+{}^{\mathrm{N}}{\mathit{\omega }}^{\mathrm{E}}\times {𝐫}^{\mathrm{R}}.$

onde Modelo:Math é a velocidade angular da Terra en relación ao sistema de referencia inercial N. Dado que a velocidade é a derivada da posición, Modelo:Math e Modelo:Math son as derivadas de Modelo:Math nos sistemas de referencia N e E, respectivamente. Por substitución,

${}^{\mathrm{N}}{𝐯}^{\mathrm{R}}={}^{\mathrm{E}}{𝐯}^{\mathrm{R}}+{}^{\mathrm{N}}{\mathit{\omega }}^{\mathrm{E}}\times {𝐫}^{\mathrm{R}}$

onde Modelo:Math é o vector velocidade do foguete medido desde un sistema de referencia E que está fixo na Terra.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Vector de coordenadas
• Curva
• Función multivalorada

Ligazóns externas

• Vector-valued functions and their properties (from Lake Tahoe Community College)
• Modelo:MathWorld
• Everything2 article
• 3 Dimensional vector-valued functions (from East Tennessee State University) Modelo:Webarchive
• "Position Vector Valued Functions" Khan Academy