Vector unitario

Modelo:Outroshomónimos En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado.

Notación

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como $\widehat{𝐫}$ (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve ($\breve{𝐫}$) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector $𝐫$ na forma ${𝐮}_{\text{r}}$.

Definición

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝⁿ. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante $\widehat{𝐯}$ se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

$𝐯\in {ℝ}^n\Rightarrow 𝐯\equiv \widehat{𝐯}\iff |𝐯|=1$

Versor asociado a un vector

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado $𝐯$. A tal vector denomínase versor asociado ao vector $𝐯$ e pódese representar ben sexa por $\widehat{𝐯}$ ou por ${𝐮}_v$ e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular $\widehat{𝐯}$ é a división do vector entre o seu módulo.

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

Produto escalar de dous vectores

No espazo euclidiano, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

$\widehat{𝐮}\cdot \widehat{𝐯}=|\widehat{𝐮}||\widehat{𝐯}|\cos \theta$

Pero como:

$|\widehat{𝐮}|=|\widehat{𝐯}|=1$

Entón:

$\widehat{𝐮}\cdot \widehat{𝐯}=\cos \theta$

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Proxección escalar

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

$𝐅\cdot \widehat{𝐧}=|𝐅||\widehat{𝐧}|\cos \theta$

Como o módulo do vector $\widehat{𝐧}$ é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

$𝐅\cdot \widehat{𝐧}=|𝐅|\cos \theta$

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Vectores cartesianos

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos $x,y,z$ desígnanse por $𝐢,𝐣,𝐤$, respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector $𝐯=(1,-2,3)$ é