Serie harmónica

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots .

Os primeiros $n$ termos da serie suman aproximadamente $\ln n + γ$ , onde $\ln$ é o logaritmo natural e $γ \approx 0.577$ é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

Definición e diverxencia

A serie harmónica é a serie infinita

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots

na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps.^[1] Dúas das ^[2] Modelo:R máis coñecidas están listadas a continuación.

Proba por comparación

Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous:

\begin{matrix} 1 & + \frac{1}{2} & + \frac{1}{3} & + \frac{1}{4} & + \frac{1}{5} & + \frac{1}{6} & + \frac{1}{7} & + \frac{1}{8} & + \frac{1}{9} & + \dots \\ \geq 1 & + \frac{1}{2} & + \frac{1}{𝟒} & + \frac{1}{4} & + \frac{1}{𝟖} & + \frac{1}{𝟖} & + \frac{1}{𝟖} & + \frac{1}{8} & + \frac{1}{𝟏 𝟔} & + \dots \end{matrix}

A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2):

\begin{matrix} 1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16}) + \dots \\ = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots . \end{matrix}

Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo

k

,

\sum_{n = 1}^{2^{k}} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}

Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350.Modelo:R A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.^[3]

Proba por comparación cunha integral

É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e $\frac{1}{n}$ unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva $y = \frac{1}{x}$ permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de $x$ do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente,

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x = \ln (x)]_{1}^{\infty} = \infty .

Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. Modelo:R

Sumas parciais

Sumando os primeiros $n$ termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como $H_{n}$ :^[4]

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .

Valor de n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Valor aprox. de $H_{n}$	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,25	3,32	3,38	3,44	3,49	3,55	3,60

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a Modelo:Math.

Valor de n	10	$1 0^{2}$	$1 0^{3}$	$1 0^{4}$	$1 0^{5}$	$1 0^{6}$	$1 0^{7}$	$1 0^{8}$	$1 0^{9}$
Valor aprox. de $H_{n}$	2,9	5,2	7,5	9,8	12,1	14,4	16,7	19,0	21,3

Taxa de crecemento

Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral.^[5] Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin,

H_{n} = \ln n + γ + \frac{1}{2 n} - ε_{n}

onde

γ \approx 0.5772

é a constante de Euler-Mascheroni e

0 \leq ε_{n} \leq 1 / 8 n^{2}

que se achega a 0 cando

n

vai ao infinito.

Interpolación

A función digamma sobre os números complexos

A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma

ψ (x) = \frac{d}{d x} \ln (Γ (x)) = \frac{Γ^{'} (x)}{Γ (x)} .

Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que

ψ (n) = H_{n - 1} - γ

.^[6] Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.^[7]

Series relacionadas

Serie harmónica alternada

A serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots

coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.^[8]

A expansión asintótica da serie comeza como

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = H_{2 n} - H_{n} = \ln 2 - \frac{1}{4 n} + O (n^{- 2}) .

Isto resulta da igualdade

H_{n} = 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k}

e a fórmula de Euler-Maclaurin.

Función zeta de Riemann

A función zeta de Riemann defínese para $x > 1$ real pola serie converxente

ζ (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}} = \frac{1}{1^{x}} + \frac{1}{2^{x}} + \frac{1}{3^{x}} + \dots,

que para

x = 1

sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás Modelo:Nowrap onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen Modelo:Nowrap que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry Modelo:Nowrap que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real Modelo:Nowrap conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.^[9]