Ceros e polos

Na análise complexa (unha rama das matemáticas), un polo é un tipo determinado de singularidade dunha función de valor complexo dunha variábel complexa. É o tipo máis simple de singularidade non evitábel desa función (véxase singularidade esencial). Tecnicamente, un punto Modelo:Math é un polo dunha función Modelo:Mvar se é un cero da función Modelo:Math e Modelo:Math é holomorfa (é dicir, diferenciábel complexa) nalgunha veciñanza de Modelo:Math.

Unha función Modelo:Mvar é meromorfa nun conxunto aberto Modelo:Mvar se para todo punto Modelo:Mvar de Modelo:Mvar existe unha veciñanza de Modelo:Mvar na que polo menos unha das funcións Modelo:Mvar e Modelo:Math é holomorfa.

Se Modelo:Mvar é meromorfa en Modelo:Mvar, entón un cero de Modelo:Mvar é un polo de Modelo:Math, e un polo de Modelo:Mvar é un cero de Modelo:Math. Isto induce unha dualidade entre ceros e polos, que é fundamental para o estudo das funcións meromorfas.

Definicións

Unha función dunha variábel complexa Modelo:Mvar é holomorfa nun dominio aberto Modelo:Mvar se é diferenciábel respecto a Modelo:Mvar en cada punto de Modelo:Mvar. Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de Modelo:Mvar e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en Modelo:Mvar se todo punto de Modelo:Mvar ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións Modelo:Mvar e Modelo:Math é holomorfa.

Un cero dunha función meromorfa Modelo:Mvar é un número complexo Modelo:Mvar tal que Modelo:Math. Un polo de Modelo:Mvar é un cero de Modelo:Math.

Se Modelo:Mvar é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto $z_0$ do plano complexo, entón existe un enteiro Modelo:Mvar tal que

$(z-z_0{)}^{n}f(z)$

é holomorfa e non nula nunha veciñanza de $z_0$ (isto é unha consecuencia da propiedade analítica). Se Modelo:Math, entón $z_0$ é un polo de orde (ou multiplicidade) Modelo:Mvar de Modelo:Mvar. Se Modelo:Math, entón $z_0$ é un cero de orde $|n|$ de Modelo:Mvar.

Cero simple e polo simple son termos usados para ceros e polos de orde $|n|=1.$ Ás veces úsase grao como sinónimo de orde.

Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.

Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.

Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en Modelo:Math. Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre Modelo:Math.

Nunha veciñanza dun punto $z_0,$ unha función meromorfa non nula Modelo:Mvar é a suma dunha serie de Laurent cunha parte principal finita (os termos con valores de índice negativos):

$f(z)=\sum _{k\ge -n}{a}_k(z-z_0{)}^k,$

onde Modelo:Mvar é un enteiro, e $a_{-n}\ne 0.$ De novo, se Modelo:Math (a suma comeza con $a_{-|n|}(z-z_0{)}^{-|n|}$, a parte principal ten Modelo:Mvar termos), tense un polo de orde Modelo:Mvar, e se Modelo:Math (a suma comeza con $a_{|n|}(z-z_0{)}^{|n|}$, non hai parte principal), tense un cero de orde $|n|$.

No infinito

Unha función $z\mapsto f(z)$ é meromorfa no infinito se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro Modelo:Mvar tal que

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(z)}{z^n}$

existe e é un número complexo non nulo.

Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde Modelo:Mvar se Modelo:Math, e un cero de orde $|n|$ se Modelo:Math.

Por exemplo, un polinomio de grao Modelo:Mvar ten un polo de grao Modelo:Mvar no infinito.

O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.

Se Modelo:Mvar é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros.

Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador.

Exemplos

Un polinomio de grao 9 ten un polo de orde 9 no $\mathrm{\infty }$, aquí representado mediante a coloración do dominio da esfera de Riemann.

• A función

$f(z)=\frac{3}{z}$

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en $z=0,$ e un cero simple no infinito.

• A función

$f(z)=\frac{z+2}{(z-5{)}^2(z+7{)}^3}$

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en $z=5,$ e un polo de orde 3 en $z=-7$. Ten un cero simple en $z=-2,$ e un cero cuádruplo no infinito.

• A función

$f(z)=\frac{z-4}{e^z-1}$

é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en $z=2\pi ni\text{ para }n\in \mathbb{Z}$. Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de $e^z$ arredor da orixe.

• A función

$f(z)=z$

ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.

Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais.

Función nunha curva

O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha curva complexa, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.

Máis precisamente, sexa Modelo:Mvar unha función dunha curva complexa Modelo:Mvar nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto Modelo:Mvar de Modelo:Mvar se existe unha carta $\varphi$ tal que $f\circ {\varphi }^{-1}$ é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de $\varphi (z).$ Entón, Modelo:Mvar é un polo ou un cero de orde Modelo:Mvar se o mesmo é certo para $\varphi (z).$

Se a curva é compacta, e a función Modelo:Mvar é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema de Hurwitz (análise complexa)
• Residuo (análise complexa)

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld