Radical dun ideal

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o radical dun ideal $I$ dun anel conmutativo é outro ideal definido pola propiedade de que un elemento $x$ está no radical se e só se algúnha potencia de $x$ está en $I$. Tomar o radical dun ideal chámase radicalización. Un ideal radical (ou ideal semiprimo) é un ideal que é igual ao seu radical. O radical dun ideal primario é un ideal primo.

Este concepto xeneralízase aos aneis non conmutativos no artigo de anel semiprimo.

Definición

O radical dun ideal $I$ nun anel conmutativo $R$, denotado por $\mathrm{rad}(I)$ ou $\sqrt{I}$, defínese como

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid r^n\in I\text{for some}n\in {\mathbb{Z}}^{+}\},$

(nótese que $I\subseteq \sqrt{I}$ ). Intuitivamente, $\sqrt{I}$ obtense tomando todas as raíces dos elementos de $I$ dentro do anel $R$. De forma equivalente, $\sqrt{I}$ é a preimaxe do ideal dos elementos nilpotentes (o nilradical) do anel cociente $R/I$ (vía o mapa natural $\pi :R\to R/I$). Isto último demostra que $\sqrt{I}$ é un ideal.

Se o radical de $I$ é finitamente xerado, entón algunha potencia de $\sqrt{I}$ está contida en $I$. En particular, se $I$ e $J$ son ideais dun anel noetheriano, entón $I$ e $J$ teñen o mesmo radical se e só se $I$ contén algunha potencia de $J$ e $J$ contén algunha potencia de $I$ .

Se un ideal $I$ coincide co seu propio radical, daquela $I$ chámase ideal radical ou ideal semiprimo.

Exemplos

• Considere o anel $\mathbb{Z}$ de enteiros.
  1. O radical do ideal $4\mathbb{Z}$ de múltiplos enteiros de $4$ é $2\mathbb{Z}$ (os pares).
  2. O radical de $5\mathbb{Z}$ é $5\mathbb{Z}$.
  3. O radical de $12\mathbb{Z}$ é $6\mathbb{Z}$.
  4. En xeral, o radical de $m\mathbb{Z}$ é $r\mathbb{Z}$, onde $r$ é o produto de todos os factores primos distintos de $m$, o maior factor libre de cadrados de $m$ (ver Radical dun número enteiro). De feito, isto xeneraliza a un ideal arbitrario (ver o Propiedades sección).
• Considere o ideal $I=\left(y^4\right)\subseteq ℂ[x,y]$. É trivial mostrar $\sqrt{I}=(y)$ (usando a propiedade básica $\sqrt{I^n}=\sqrt{I}$), mais damos un métodos alternativo: O radical $\sqrt{I}$ corresponde ao nilradical $\sqrt{0}$ do anel cociente $R=ℂ[x,y]/\left(y^4\right)$, que é a intersección de todos os ideais primos do anel cociente. Está contido no Radical de Jacobson, que é a intersección de tódolos ideais maximais, que son os kernels de homomorfismos de corpos. Calquera homomorfismo de anel $R\to ℂ$ debe ter $y$ no kernel para ter un homomorfismo ben definido (se dixéramos, por exemplo, que o kernel debería ser $(x,y-1)$ a composición de $ℂ[x,y]\to R\to ℂ$ sería $(x,y^4,y-1)$, que é o mesmo que tentar forzar $1=0$). Posto que $ℂ$ é alxébricamente pechado, cada homomorfismo $R\to 𝔽$ debe ser un factor a través $ℂ$, así que só temos que calcular a intersección de $\{\ker (\mathrm{\Phi }):\mathrm{\Phi }\in \mathrm{Hom}(R,ℂ)\}$ para calcular o radical de $(0).$ Entón atopamos que $\sqrt{0}=(y)\subseteq R.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Radical de Jacobson
• Nilradical dun anel

Ligazóns externas

• Radical of rings and algebras.

Modelo:Control de autoridades