Libre de cadrados

Un número enteiro n é libre de cadrados se non é divisíbel por ningún cadrado perfecto maior ca 1. Isto quere dicir que os factores primos de n son todos distintos.Modelo:Sfn

Desta forma, $10=2\cdot 5$ é libre de cadrados, mais $20=2^2\cdot 5$ non o é, porque é divisíbel por un cadrado.

Os primeiros enteiros positivos libres de cadrados son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... Modelo:OEIS.

Caracterizacións equivalentes

Un número é libre de cadrados se e só se:

• Non existe ningún primo p tal que p² divide a n.
• n factoriza en produto de primos distintos. Outra forma de dicir isto é que para toda factorización de n=ab, os factores a e b son primos entre si.Modelo:Sfn
• O valor da función de Möbius de n, μ(n), é non nulo.

Distribución dos números libres de cadrados

Se Q(x) indica o número de números libres de cadrados menores ou iguais que x, entón

$Q(x)=\frac{6x}{{\pi }^2}+O(\sqrt{x})$

(véxase π).

A densidade dos números libres de cadrados é, polo tanto,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x)}{x}=\frac{6}{{\pi }^2}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro