Normal (xeometría)

Un polígono e os seus dous vectores normais

Unha normal a unha superficie nun punto é o mesmo que unha normal ao plano tanxente á superficie no mesmo punto.

En xeometría, unha normal é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a recta normal a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.

Un vector normal de lonxitude un chámase vector normal unitario. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por Modelo:Val resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).

No espazo tridimensional, unha superficie normal, ou simplemente unha normal, a unha superficie no punto Modelo:Math é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en Modelo:Math. A palabra normal tamén se usa como adxectivo: unha liña normal a un plano, a compoñente normal dunha forza, o vector normal, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).

O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O espazo vectorial normal ou espazo normal dunha variedade nun punto $P$ é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en $P.$ Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.

O pé dunha normal nun punto de interese Q (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto P da superficie onde o vector normal contén Q. A distancia normal dun punto Q a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre Q e o seu pé P.

Normal de curvas no espazo

Dirección normal (en vermello) a unha curva (en negro).

A dirección normal dunha curva espacial é:

$𝐍=R\frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}$

onde $R={\kappa }^{-1}$ é o raio de curvatura (curvatura recíproca); $𝐓$ é o vector tanxente, en termos da posición da curva $𝐫$ e a lonxitude do arco $s$:

$𝐓=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}s}$

Normal a planos e polígonos

Ecuación do plano en forma normal

Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.

Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral $ax+by+cz+d=0,$ o vector $𝐧=(a,b,c)$ é a normal do plano.

Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica $$𝐫(s,t)={𝐫}_0+s𝐩+t𝐪,$$onde ${𝐫}_0$ é un punto do plano e $𝐩,𝐪$ son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous $𝐩$ e $𝐪,$ que se pode atopar como o produto vectorial $𝐧=𝐩\times 𝐪.$

Normal a superficies xerais no espazo 3D

Unha superficie curva que mostra os vectores normais unitarios (frechas azuis) á superficie

Se unha superficie (posiblemente non plana) $S$ no espazo 3D ${ℝ}^3$ está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas $𝐫(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ con $s$ e $t$ variables reais, entón unha normal a S é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. $$𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$$

Se unha superficie $S$ dáse implícitamente como o conxunto de puntos $(x,y,z)$ que satisfán $F(x,y,z)=0,$ entón unha normal nun punto $(x,y,z)$ na superficie vén dada polo gradiente $$𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z).$$xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis $S.$

Para unha superficie $S$ en ${ℝ}^3$ dada como gráfica dunha función $z=f(x,y),$ pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización $𝐫(x,y)=(x,y,f(x,y)),$ obtendo $$𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial x}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial y}=(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times (0,1,\frac{\partial f}{\partial y})=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1);$$ ou máis simplemente desde a súa forma implícita $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$ obtendo $𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1).$ Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.

Orientación

Un campo vectorial de normais a unha superficie

A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas orientacións normais, a normal que apunta cara a dentro e a normal que apunta caara ao exterior. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores.

Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo n-dimensional

Unha variedade diferencial definida por ecuacións implícitas no $n$-espazo dimensional ${ℝ}^n$ é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en $n$ variables $$f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_k(x_1,\dots ,x_n).$$A matriz jacobiana da variedade é a matriz $k\times n$ cuxa $i$-ésima fila é o gradiente de $f_i.$ Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango $k.$ En tal punto $P,$ o espazo vectorial normal é o espazo vectorial xerado polos valores en $P$ dos vectores de gradiente do $f_i.$

O espazo normal (afín) nun punto $P$ da variedade é o subespazo afín que pasa por $P$ e xerado polo espazo vectorial normal en $P.$

Exemplo

Sexa V a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións $$xy=0,z=0.$$Esta variedade é a unión do eixo $x$ e o eixo $y$.

Nun punto $(a,0,0),$ onde $a\ne 0,$ as filas da matriz jacobiana son $(0,0,1)$ e $(0,a,0).$ Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación $x=a.$ Do mesmo xeito, se $b\ne 0,$ o plano normal en $(0,b,0)$ é o plano da ecuación $y=b.$

No punto $(0,0,0)$ as filas da matriz jacobiana son $(0,0,1)$ e $(0,0,0).$ Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo $z$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Compoñentes tanxencial e normal.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• explanation of normal vectors
• calculating a surface normal Modelo:Webarchive pseudocódigo claro para calcular a normal dun triángulo ou polígono.