Teorema da función implícita

A circunferencia unitaria pode representarse pola ecuación implícita $x^2+y^2-1=0$. Ó redor do punto A, poderemos expresar y como unha función $y(x)=\sqrt{1-x^2}$. Pero non existirá unha función similar nunha contorna do punto B.

En análise matemática, o teorema da función implícita estabelece condicións baixo as que unha ecuación de varias variables permite definir unha delas como función das demais.

Por exemplo, dada a ecuación F(x,y)=0 (forma coñecida como función implícita), baixo certas esixencias sobre a derivada de F poderiamos, alo menos localmente, despexar y=f(x).

Enunciado

Se se considera o punto $P=(a_1,a_2,\dots ,a_n,b)$ e a ecuación $F(x_1,x_2,\dots ,x_n,z)=0$, sendo $F(x_1,x_2,\dots ,x_n,z)$ unha función de $n+1$ variábeis que satisfai as seguintes condicións:

1. $F(P)=0$
2. Nun contorno do punto $P=(a_1,a_2,\dots ,a_n,b)$ existen e son continuas as derivadas parciais $\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n},\frac{\partial F}{\partial z}$.
3. $\frac{\partial F}{\partial z}$ en $P$ é distinto de cero.

Entón existe nun contorno do punto $Q=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ unha única función $z=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ cuxas derivadas parciais respecto de $x_1,x_2,\dots ,x_n$ son continuas nun contorno de dito punto $Q$ e tal que $F(x_1,x_2,\dots ,x_n,f(x_1,x_2,\dots ,x_n))=0$.

Existen versións deste teorema con hipóteses algo máis xerais.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema da función inversa